第一節　空間匯交力系

各力的作用線匯交為一點，但不在同一平面的力系稱為空間匯交力系。在討論空間匯交力系之前先說明一下力在空間坐標軸上投影的概念。一般有兩種方法：直接投影法和間接投影法。

一、力在空間直角坐標軸上的投影

1.直接投影法

若力F與x、y、z軸的正向夾角分別為α、β、γ為已知，如圖3-1所示，則力F在三個軸上的投影就等于力F的大小乘以力F與各軸正向夾角的余弦，即：

　　 （3-1） 　　

這種方法稱為直接投影法或一次投影法。

2.二次投影法

當力F與坐標軸x、y間的夾角不易確定時，可把力F先投影到坐標平面Oxy上，得到力，然后再把這個力投影到x、y軸上。在圖3-2中，已知F與z軸正向夾角γ和Fxy與x軸的夾角φ，則力F在三個坐標軸上的投影分別為：

　　 （3-2） 　　

我們把這種方法稱為二次投影法。

若以Fx，Fy，Fz，表示力F沿直角坐標軸x、y、z的正交分量，以i、j、k分別表示沿x、y、z坐標軸方向的單位矢量，如圖3-3所示，則：

F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk　　（3-3）

如果已知力F在空間直角坐標系上的三個投影Fx，Fy，Fz，則力F的大小和方向余弦為：

　　 （3-4） 　　

　　 （3-5） 　　

【例3-1】　如圖3-4所示，已知圓柱斜齒輪所受的嚙合力Fn=1410N，齒輪壓力角α=20°，螺旋角β=25°。試計算斜齒輪所受的徑向力Fr、軸向力Fa和圓周力Ft。

解　取坐標系如圖所示，使x、y、z分別沿齒輪的軸向、圓周的切線方向和徑向。先把嚙合力Fn向z軸和坐標平面xOy投影，得：

Fz=-Fr=-Fnsinα

Fxy=Fncosα

采用二次投影法，把Fxy在x、y軸上投影：

Fx=Fa=-Fxysinβ=-Fncosαsinβ

Fy=Ft=-Fxycosβ=-Fncosαcosβ

解得Fr=-482N，Fa=-560N，Ft=-1201N

題中負值表示力的方向與坐標軸的方向相反。

二、空間匯交力系的合成與平衡條件

將平面匯交力系的合成法則擴展到空間匯交力系，可得結論：空間匯交力系可以合成一個合力，其合力等于各分力的矢量和，作用線通過匯交點，即：

　　 （3-6） 　　

由式（3-3）可得：

FR=∑Fx·i+∑Fy·j+∑Fz·k　　（3-7）

式中，∑Fx、∑Fy、∑Fz為合力FR沿x、y、z軸上的投影。合力的大小和方向余弦為：

　　 （3-8） 　　

　　 （3-9） 　　

式中，（FR，i）、（FR，j）、（FR，k）分別為FR與x、y、z軸的正向夾角。

由于空間匯交力系可以合成一個合力，因此，空間匯交力系平衡的必要且充分條件為該力系的合力等于零，即：

　　 （3-10） 　　

由式（3-8）可知，為使合力FR為零，必須同時滿足：

∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0　　（3-11）

即空間匯交力系平衡的必要且充分條件是該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數和分別等于零。式（3-10）稱為空間匯交力系的平衡方程。

應用解析法求解空間匯交力系的平衡問題的步驟，與平面匯交力系問題相同，只不過需列出三個平衡方程，可求解三個未知量。

【例3-2】　有一空間支架固定在相互垂直的墻上。支架由垂直于兩墻的鉸接二力桿OA、OB和鋼繩OC組成。已知θ=30°，φ=60°，O點吊一重量G=1.2kN的重物［圖3-5（a）］。試求兩桿和鋼繩所受的力。圖中O、A、B、D四點都在同一水平面上，桿和繩的重量都忽略不計。

解　①選研究對象，畫受力圖。取鉸鏈O為研究對象，設坐標系為Dxyz，受力如圖3-5（b）所示。

②列平衡方程式，求未知量，即：

∑Fx=0，　FB-Fcosθsinφ=0

∑Fy=0，　FA-Fcosθcosφ=0

∑Fz=0，　Fsinθ-G=0

解上述方程得：

FA=Fcosθcosφ=2.4×cos30°cos60°=1.04kN

FB=Fcosθsinφ=2.4×cos30°sin60°=1.8kN