第四節(jié)　重心

在非慣性系中，物體所受各萬有引力和慣性力的合力叫重力。若將物體看成由無數(shù)的質(zhì)點組成，由于距離地心較遠，諸質(zhì)點所受的地心引力作用可看成一組空間平行力系，這個力系的合力的大小就是物體的重力。不論物體如何放置，其重力的合力作用線相對于物體總是通過一個確定的點，這個點稱為物體的重心。在不改變物體形狀的情況下，物體的重心與其所在位置和如何放置無關(guān)。均勻重力場時，重心等同于物理上的質(zhì)心（物體的質(zhì)量中心）。有規(guī)則形狀、質(zhì)量分布均勻的物體的重心在它的幾何中心上。

一、重心坐標的一般公式

在空間坐標系中，有物體總重量為P，重心在C處。ΔPi為組成物體的微元體的重量，其重心位置為Ci且P=∑ΔPi。xc，yc，zc是物體重心坐標，xi，yi，zi是ΔPi的重心坐標，如圖3-18所示。分別對x、y軸取矩，根據(jù)合力矩定理可推導(dǎo)出物體重心位置坐標xc，yc。再將物體連同坐標軸繞y軸轉(zhuǎn)90°，使z軸處于水平位置，對z軸取矩，則可得位置坐標zc。

即：

整理可得：

　　 （3-32） 　　

對于均質(zhì)物體，若微元體的體積為ΔVi，密度為ρi，則Pi=ρigΔVi。其中ρi=常量。若物體不僅是均質(zhì)的，而且是等厚板或殼，有ΔVi=ΔAih，h為厚度，ΔAi為微元面積。于是重心（或形心）坐標公式為：

　　 （3-33） 　　

二、簡單幾何形體的重心

很多常見的物體往往具有一定的對稱性，如具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心，此時，重心必在物體的對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心上。均質(zhì)簡單幾何形體的重心一般可通過積分求得。機械設(shè)計手冊中，可查得常用基本幾何形體的形心位置，表3-1列出了其中的幾種。

三、組合形體的重心

工程中很多構(gòu)件往往是由幾個簡單的基本形體組合而成的，即所謂組合體。若組合體中每一基本形體的重心（或形心）是已知的，則整個組合體的重心（或形心）可用分割法或負面積（負體積）法求出。

1.分割法

若一個物體由幾個簡單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個物體的重心即可用式（3-32）求出。

【例3-6】　試求Z形截面重心的位置，其尺寸如圖3-19所示。

解　將Z形截面看作由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個矩形面積組合而成，每個矩形的面積和重心位置可方便求出。取坐標軸如圖3-19。

Ⅰ：A1=300mm2，x1=15mm，y1=45mm

Ⅱ：A2=400mm2，x2=35mm，y2=30mm

Ⅲ：A3=300mm2，x3=45mm，y3=5mm

按式（3-33）求得該截面重心的坐標xc、yc為：

2.負面積法（負體積法）

若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式來求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負值。今以【例3-7】說明。

【例3-7】　求圖3-20所示圖形的形心，已知大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，兩圓的中心距為a。

解　取坐標系如圖3-20所示，因圖形對稱于x軸，其形心在x軸上，故yc=0。

圖形可看作由兩部分組成，挖去的面積以負值代入，兩部分圖形的面積和形心坐標為

A1=πR2，x1=y1=0

A2=-πr2，x2=a，y2=0

可得：