第五節(jié)　平面任意力系平衡方程

當平面任意力系的主矢和主矩都等于零時，說明力系向簡化中心等效平移后，施加在簡化中心O的匯交力系和附加力偶系都是平衡力系，則該平面任意力系一定是平衡力系。因此，平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢與對任一點的主矩均等于零。即：

根據(jù)上述的平衡條件，可以用解析式表達.即：

　　 （2-16） 　　

由此可得平面任意力系平衡的解析條件：平面任意力系中各力在兩個任選的坐標軸中每一軸上投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對任意一點之矩的代數(shù)和等于零。這就是平面任意力系的平衡方程。

實際計算時坐標軸的方位可以任意選取，簡化中心O點的位置可以任意確定。值得注意的是，平衡方程是三個獨立方程，所以最多只能求解三個未知力。

在解決實際問題時。適當?shù)剡x擇坐標軸和矩心可以簡化計算。在平面任意力系情形下，力矩的矩心應取在未知力較多的點上，坐標軸則盡可能選取與該力系中多數(shù)力的作用線平行或垂直。

平面任意力系的平衡方程還有其他兩種形式。

（1）二力矩式　兩個力矩方程和一個投影方程，即：

　　 （2-17） 　　

其中，A、B兩點的連線AB不能與x軸垂直。

（2）三力矩式　三個力矩方程，即：

　　 （2-18） 　　

其中，A、B、C三點不能共線。

以上三組方程式（2-16）、式（2-17）、式（2-18）均可以解決平面任意力系的平衡問題，究竟選哪一種形式，需根據(jù)具體條件確定。對于受平面任意力系作用的研究對象的平衡問題，只可以列出三個獨立的平衡方程，求解三個未知量，超過三個方程的其他平衡方程都是同解方程。

若平面力系中各力的作用線相互平行（圖2-22），則稱其為平面平行力系。對于平面平行力系，在選擇投影軸時，使其中一個投影軸垂直于各力作用線，則式（2-16）中必有一個投影方程成為恒等式。于是，只有一個投影方程和一個力矩式方程，這就是平面平行力系的平衡方程，即：

　　 （2-19） 　　

【例2-9】　圖2-23（a）所示的水平橫梁AB，A端為固定鉸支座，B端為可動鉸支座。其中，a=2m，集中力F=8kN，作用于梁的中點C。在梁AC段上受均布載荷q=6kN/m作用，在梁的BC段上受力偶矩為M=12kN·m的力偶作用。試求A、B處的約束反力。

解　選取梁AB為研究對象。作用在AB上的主動力有：均布載荷q、集中力F和矩為M的力偶；約束反力有：鉸鏈A處的兩個分力FAx、FAy和可動支座B處垂直向上的約束反力FB，其受力如圖2-23（b）所示。

取坐標系如圖2-23（b）所示，列出梁的平衡方程：

∑Fx=0，FAx=0

∑Fy=0，FAy-qa-F+FB=0

解得FAx=0，FAy=10kN，FB=10kN。

【例2-10】　剛性支架的A端嵌固在基礎上，C端裝有滑輪，如圖2-24（a）所示。繩子一端固定在D點，與水平面成α=60°角，另一端吊著重P=1000N的重物。已知AD=0.5m，DE=1.5m。求支架插入端的支座反力（包括反力偶在內(nèi)）。

解　取整個支架為研究對象。受力圖如圖2-24（b）所示。已知滑輪兩邊繩子的拉力相等，即F=P=1000N，今后遇到帶有滑輪的結構，一般不把滑輪拆開，以免增加不需求的未知數(shù)。選坐標軸如圖2-24（b）所示，則平衡方程為：

∑Fx=0，FAx-Fcosα=0　　（1）

∑Fy=0，FAy-Fsinα-P=0　　（2）

∑mA（F）=0，MA-Fsinα·AD-P·AE=0　　（3）

由式（1）得　FAx=Fcos60°=500N

由式（2）得　FAy=P+Fsinα=1866N

由式（3）得　MA=P（ADsin60°+AE）=2433N·m

【例2-11】　如圖2-25（a）所示，飛機機翼上安裝一臺發(fā)動機，作用在機翼OA上的氣動力按梯形分布：q1=60kN/m，q2=40kN/m，機翼重P1=45kN，發(fā)動機重P2=20kN，發(fā)動機螺旋槳的作用力偶矩M=18kN·m。求機翼處于平衡狀態(tài)時機翼根部固定端O受的力。

解　取機翼（包括螺旋槳）為研究對象，其受力如圖2-25（b）所示。分布載荷可以看作由三角形和矩形分布載荷的疊加，三角形分布部分的F3大小為（60-40）×9/2=90kN，作用線距根部3m；矩形分布的部分F4的大小40×9=360kN，作用線距翼根4.5m。對受力圖［圖2-25（b）］列平衡方程組：

∑Fx=0，FOx=0

∑Fy=0，FOy+F3+F4-P1-P2=0

∑MO（F）=0，MO+F3×3+F4×4.5-P1×3.6-P2×4.2-M=0

解得：FOx=0；FOy=-385kN（與假設方向相反）；MO=1626kN

【例2-12】　塔式軌道起重機如圖2-26所示。機身重G=220kN，作用線通過塔架的中心。已知最大起重量P=50kN，起重懸臂長12m，軌道AB的間距為4m，平衡重W到機身中心線的距離為6m。試求：①能保證起重機不會翻倒的平衡重的大小W；②當W=30kN而起重機滿載時，輪子A、B對軌道的壓力。

解　取起重機整體為研究對象。起重機在起吊重物時，作用在它上面的力有機身自重G，平衡重W，起重量P，以及軌道對輪子A、B的約束力FA、FB，這些力組成一平面平行力系如圖2-26所示。

①求保證起重機不會翻倒的平衡重的大小W

要保證起重機不會翻倒，就是要保證起重機在滿載時不繞B點向右翻倒；空載時不繞A點向左翻倒。這就要求作用在起重機上的力系在以上兩種情況下都能滿足平衡條件。

滿載時P=50kN，假定起重機處于平衡的臨界情況（即：將翻未翻之時），則有FA=0，這時可由平衡方程求出平衡重的最小值Wmin，列平衡方程求得：

∑MB（F）=0，G·2+Wmin·（6+2）-P·（12-2）=0

Wmin=7.5kN

空載時P=0kN，又假定起重機處于平衡的另一臨界情況，則有FB=0，這時可由平衡方程求出平衡重的最大值Wmax。由平衡方程可得：

∑MA（F）=0，-G·2+Wmax·（6-2）=0

Wmax=110kN

上面的Wmin和Wmax是在滿載和空載兩種極限平衡狀態(tài)下求得的，起重機實際工作時當然不允許處于這種危險狀態(tài)。因此要保證起重機不會翻倒，平衡重的大小W應在這兩者之間，即7.5<W<110kN。

②取W=30kN，求滿載時的約束力FA、FB

正常工作時，起重機既沒有向右、也沒有向左傾倒的可能，這時起重機在圖2-26所示的各力作用下處于平衡狀態(tài)。由平面平行力系的平衡方程：

∑MA（F）=0，-G·2+W·（6-2）+FB·4-P·（12+2）=0

∑Fy=0，FA+FB-W-G-P=0

可得

FA=45kN、FB=255kN

可見正常工作時，軌道約束力都大于零。輪子A、B對軌道的壓力的大小就等于軌道對輪子A、B的約束力FA、FB。