第六節 物體系統平衡、超靜定問題簡介
一、物體系統的平衡問題
工程中，經常遇到由若干個物體組成的物體系統，簡稱為物系。研究物體系統的平衡問題時，必須綜合考察整體與局部的平衡。當物體系統平衡時，組成該系統的任何一個局部系統以至任何一個物體也必然處于平衡狀態，因此在求解物體系統的平衡問題時，不僅要研究整個系統的平衡，而且要研究系統內某個局部或單個物體的平衡。在畫物體系統、局部、單個物體的受力圖時，特別要注意施力體與受力體、作用力與反作用力的關系，由于力是物體之間相互的機械作用，因此，對于受力圖上的任何一個力，必須明確它是哪個物體所施加的，決不能憑空臆造。一般應先考慮以整個系統為研究對象，雖不能求出全部未知力，但可求出其中的一部分；然后再選擇單個物體（或小系統）為研究對象，以選擇已知力和待求的未知力共同作用的物體為好。選擇研究對象時，還要盡量使計算過程簡單，盡可能避免解聯立方程組。
二、靜定和超靜定
力系確定以后，根據靜平衡條件所能寫出的獨立平衡方程數目是一定的。例如，平面匯交力系有兩個獨立平衡方程，平面任意力系有三個獨立平衡方程。根據靜平衡方程能夠確定的未知力的個數也是一定的，據此，靜平衡問題可分為以下兩類。
1.靜定問題
研究對象中所包含獨立平衡方程的數目等于所要求的未知量的數目時，全部未知量可由靜平衡方程求得，這類問題稱為靜定問題，即在靜力學范圍內有確定的解。靜定問題是剛體靜力學所研究的主要問題。
2.超靜定（靜不定）問題
若能寫出的獨立平衡方程數目小于未知量數目時，僅用靜力學方法就不能求出全部未知量，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題，即在靜力學范圍內沒有確定的解。這類問題不屬于剛體靜力學的研究范圍，將在材料力學部分討論其求解方法。
超靜定問題中，未知量數目與獨立平衡方程總數之差稱為超靜定次數或超靜定度數。下面給出幾個靜定與超靜定問題的例子。
設用兩根繩子懸掛一重物，如圖2-27（a）所示。未知的約束反力有兩個，而物體受平面匯交力系作用，共有兩個獨立的平衡方程，獨立平衡方程數目與未知量個數相等，所以該問題為靜定問題；若用三根繩子懸掛重物，如圖2-27（b）所示，力作用線匯交于一點，有三個未知力，但只有兩個獨立平衡方程，因此是一次超靜定問題。圖2-27（c）所示的梁，有三個未知的約束反力，梁受平面任意力系作用，有三個獨立平衡方程，因此屬于靜定問題；圖2-27（d）所示的梁有5個未知的約束反力，獨立平衡方程數目只有3個，因此該問題屬于2次超靜定問題。圖2-27（e）所示的懸臂梁，未知的約束反力有3個，梁受平面任意力系作用，有3個獨立的平衡方程，因此屬于靜定問題；圖2-27（f）有4個未知約束反力，獨立平衡方程數目只有三個，因此是一次超靜定問題。
圖2-27
【例2-13】 組合梁如圖2-28（a）所示。已知a=1m，q=6kN/m，F=4kN，θ=30°試求A、C處的約束力。
圖2-28
解 ①研究整體梁ABC，進行受力分析，受力圖如圖2-28（b）所示，共有4個未知量FAx、FAy、MA和FC，但平面任意力系只能列3個獨立的平衡方程。故無法全部解出，需要進行局部分析。
②從B處拆開，研究梁BC，如圖2-28（c）。研究對象共有3個未知量FBx、FBy和FC，方程也是3個，可以求解，列方程可避開不需求的未知力FBx和FBy。
具體解法如下。
研究梁BC，如圖2-28（c），列平衡方程：
∑MB（F）=0，FCcosθ·2a-Fa=0，FC=2.3kN
研究梁ABC，如圖2-28（b），列平衡方程
∑Fx=0，FAx-FCsinθ=0，FAx=1.15kN
∑Fy=0，FAy-2qa-F+FCcosθ=0，FAy=14kN
∑MA（F）=0，MA-2qa·a-F·3a+FCcosθ·4a=0，MA=16kN·m
【例2-14】 桁架構架由桿AC、BC和DH組成，如圖2-29（a）所示。桿DH上的銷子E可在桿BC的光滑槽內滑動，不計各桿的重量。在水平桿DH的一端作用鉛垂力F，試求鉛直桿AC上鉸鏈A、C、D和B所受的力。
圖2-29
解 ①取整體為研究對象，有主動力載荷F，A、B處固定鉸支座的未知的約束反力FAx、FAy、FBx和FBy，如圖2-29（a）所示。列平衡方程：
∑Fx=0，FAx+FBx=0
∑Fy=0，FAy+FBy-F=0，FAy=0
∑MA（F）=0，FBy·2a-F·2a=0，FBy=F
②取DH桿為研究對象，有主動力載荷F，D處無滑圓柱鉸鏈的未知的約束反力
和
，光滑接觸面E處一個未知約束力FE，如圖2-29（b）所示。列平衡方程：
③取ADC桿為研究對象，A處固定鉸支座的未知的約束反力FAx、FAy，D處無滑圓柱鉸鏈的未知的約束反力FDx和FDy，C處無滑圓柱鉸鏈的未知的約束反力FCx和FCy，如圖2-29（c）所示。列平衡方程：
∑Fx=0，FAx+FDx+FCx=0，FCx=-F
∑Fy=0，FAy+FCy+FDy=0，FCy=-F
∑MA（F）=0，FAy·2a+FDx·a=0，FAx=-F
對于求解結果中，正負符號不代表大小，僅代表方向，若符號為正，說明假設方向正確；若符號為負，說明假設與實際方向相反。