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書名：理論力學
作者名：張巨偉王偉
本章字數： 2392字
更新時間： 2020-01-22 11:34:17

第四節　平面任意力系的簡化

一、力的平移定理

定理：可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的力矩。

證：設力F作用在剛體上的A點，如圖2-17（a）所示，現將力F平行移動到B點。根據加減平衡力系公理，在B點上加一對平衡力（F′，F″），令它們的作用線平行于力F，且F=F′=-F″，如圖2-17（b）所示，這三個力組成的力系與原力是等效的。將這三力看成一個作用在B點的力F′和一個力偶（F″，F）。因此，原來作用在A點的力F，現在被一個作用在B點的力F′和一個力偶（F″，F）所代替，如圖2-17（c）所示，從而實現了力的平行移動。附加上的力偶的矩為：

M=Fd=MB（F）

圖2-17

即附加力偶矩等于力F對平移點B之矩。因此定理得證，該定理指出，一個力可等效于一個力和一個力偶，或者說一個力可分解為作用在同平面內的一個力和一個力偶。反過來，根據力的平移定理，可證明其逆定理也成立，即同平面內的一個力和一個力偶可合成為一個力。

二、平面力系向一點的簡化

剛體上作用有多個力組成的平面任意力系F1、F2、…、Fn，如圖2-18（a）所示。從力系作用的平面內任選一點O，O點稱為簡化中心。根據力的平移定理，將力系中諸力分別平移到簡化中心O點，結果是得到作用于O點的平面匯交力系、、…、，以及由相應的附加力偶組成的平面力偶系M1、M2、…、Mn，如2-18（b）所示，其中有：

圖2-18

這些附加力偶的矩分別等于力F1、F2、…、Fn對O點的矩，即：

M1=MO（F1）、M2=MO（F2）、…、Mn=MO（Fn）

分別對平移后得到的兩個簡單力系進行合成。平面匯交力系可以進一步合成為作用線通過簡化中心O的一個力，稱為平面任意力系的主矢，如圖2-18（c）所示，其大小和方向等于原來各力的矢量和，即：

　　（2-13）　　

平面力偶系可以合成為一個力偶，這個力偶的矩MO稱為平面任意力系對簡化中心O點的主矩，等于各個附加力偶矩的代數和，也就是原來各力對O點的矩的代數和，即：

　　（2-14）　　

綜上所述，一般情況下，平面任意力系向作用面內任一點O簡化，可得到一個力和一個力偶。這個力的作用線通過簡化中心O點，其大小和方向等于力系中各個力的矢量和，稱為平面任意力系的主矢。這個力偶的矩等于力系中各力對O點的矩的代數和，稱為平面任意力系對簡化中心O點的主矩。

因為主矢等于各力的矢量和，并不涉及作用點，所以它和簡化中心的選擇無關；而主矩等于各力對簡化中心之矩的代數和，當取不同的點為簡化中心時，各力的力臂將有改變，各力對簡化中心的矩也隨之改變，所以在一般情況下主矩和簡化中心的選擇有關。因此，涉及主矩時，必須指明是力系對哪一點的主矩。

主矢的大小和方向通過O點選取直角坐標系Oxy，如圖2-18（c）所示，用合力投影定理可知：

故主矢的大小和方向分別為：

　　（2-15）　　

式中，i、j分別為沿x、y軸正向的單位矢量。

根據平面力系向作用面內一點簡化的結果，可能有下面四種情況。

①，MO≠0。力系的主矢等于零，主矩MO不等于零時，顯然，主矩與原力系等效，即原力系可合成為合力偶，合力偶矩為。

因為力偶對于平面內任意一點之矩都相同。因此，在這種情況下，主矩與簡化中心的選擇無關。

②，MO=0。當力系的主矩MO等于零，主矢不等于零時，顯然，主矢與原力系等效，即原力系可合成為一個合力，合力等于主矢，合力的作用線通過簡化中心O。

③，MO≠0。當力系的主矢、主矩都不等于零時，如圖2-19（a）所示，根據力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成為一合力。如圖2-19（b）所示，將主矩為MO的力偶用兩個力和FR表示，并令，然后去掉平衡力系（，），則主矢和主矩合成為一個作用在點O′的力FR。如圖2-19（c）所示，這個力FR就是原力系的合力，合力矢等于主矢；合力的作用線在O點的哪一側，應根據主矢和主矩的方向確定；合力作用線到O點的距離d，可按下式算得：

圖2-19

④，MO=0。平面力系的主矢、主矩均等于零時，原力系平衡，這種情形將在下節詳細討論。

三、固定端約束

利用平面任意力系簡化理論，分析一種工程中較為常見的約束類型——固定端約束（插入端約束）及其約束力的表示方法。約束和被約束物體彼此固結為一體，既限制物體的移動，同時又限制物體轉動的約束，稱為固定端約束（插入端約束）。例如，插入建筑物墻內的陽臺、輸電線的電線桿、固定在刀架上的車刀等，都是此種約束。上述實例中的陽臺、電線桿、車刀等物體可以簡化成一個桿件插入固定面的形式，如圖2-20（a）所示。桿上受到平面力系作用時，插入墻壁的固定端部分受到的約束力是雜亂分布的，可視為平面任意力系，如圖2-20（b）所示。選擇插入點A為簡化中心，將這群力向點A簡化，結果為作用在A點的一個力FA和一個力偶MA。因此，在平面力系情況下，固定端A處的約束力可簡化為一個力和一個力偶，如圖2-20（c）所示。通常這個力FA的大小和方向均未知，用兩個未知約束分力FAx和FAy表示，用MA表示約束力偶。約束力FAx和FAy限制桿端沿平面內任何方向的移動，稱為固定端反力；約束力偶MA限制桿在平面內的轉動，稱為固定端反力偶。因此，固定端約束包含三個未知量，如圖2-20（d）所示。