第三節　力偶系合成及平衡

一、力偶的概念

由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系稱為力偶，記作（F，F′），如圖2-12（a）所示。力偶的兩力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩力所在的平面稱為力偶作用面。工程實際和日常生活中，司機用雙手轉動方向盤，如圖2-12（b）所示，鉗工用雙手轉動絲錐攻螺紋，如圖2-12（c）所示，雙手所施加的都是力偶。

二、力偶的基本性質

①力偶無合力，或力偶無法合成為一個力，所以一個力偶不能和一個力等效，只能和24一個力偶等效。力偶是特殊的力系。

②力偶對物體的作用效果與力對物體的作用效果不同。力既可使物體移動，又可使物體轉動，而力偶只能使物體轉動。力偶和力是靜力學的兩個基本要素。

③力偶的兩個力由于大小相等、方向相反、作用線互相平行，所以在任意坐標軸上的投影和恒為零。

三、力偶矩的概念

由于構成力偶的兩個力不共線，所以不滿足二力平衡條件。又構成力偶的兩個力在任意軸上投影的代數和為零，所以力偶也不能對物體產生移動效應，只能對物體產生轉動效應。而且力偶對物體的轉動效應隨F或力偶臂d的增大而增強，因此，可用二者的乘積F·d冠以適當的正負號所得的物理量來度量力偶對物體的轉動效應，稱之為力偶矩，記作M（F，F′）或M。

M=M（F，F'）=±F·d　　（2-10）

在平面力系中，力偶矩與力矩一樣，也是代數量，用正負號表示力偶的轉向，其正負規定與力對點之矩的正負規定相同，即：使物體逆時針轉動規定為正，順時針轉動規定為負。在國際單位制中，力偶矩的常用單位為牛頓·米（N·m）、牛頓·毫米（N·mm）或千牛頓·米（kN·m）。

四、同一平面內力偶的等效定理

由于力偶無合力，一個力偶不能和一個力等效，只能和一個力偶等效，力偶對物體的轉動效果只決定于力偶矩。所以在同一作用面內的兩個力偶等效的條件是力偶矩相等，也稱為力偶的等效定理。

由力偶的等效定理得出如下性質。

①在保持力偶矩的大小和轉向不變的條件下，可任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長短。

②作用在剛體上的力偶，只要保持其轉向及力偶矩的大小不變，可在其力偶作用面內任意轉移位置。

由上述性質，力偶可用圖2-13所示的符號表示，其中M=Fd。

五、力偶系的合成與平衡

設在同一個平面內有兩個力偶（F1，）和（F2，），它們的力偶臂分別為d1和d2，如圖2-14（a）所示。這兩個力偶的矩分別為M1和M2，現將它們進行合成。為此，在保持力偶矩不變的情況下，同時改變兩個力偶中力的大小和力偶臂的長短，使它們具有相同的臂長d，并將它們在其作用面內轉動、移動，使力的作用線重合，如圖2-14（b）所示。于是得到與原力偶等效的兩個新力偶（F3，）和（F4，4）。F3和F4的大小為：

分別將作用在A、B兩點的力合成得：設F3>F4，F=F3-F4，，即F=F′=F3-F4。于是F，F′構成了一個與原力偶系等效的合力偶（F，F'），如圖2-14（c）所示。合力偶的矩為：

M=FRd=（F3-F4）d=F3d-F4d=M1+M2

將此結果推廣到n個力偶組成的平面力偶系的情況，則有：

　　 （2-11） 　　

式（2-11）表明：平面力偶系的合成結果是一個合力偶，其力偶矩等于各分力偶的力偶矩的代數和。

由合成結果可知，力偶系平衡時，其合力偶矩必為零；合力偶矩為零時，平面力偶系必然平衡。因此平面力偶系平衡的充要條件是：所有各分力偶矩的代數和為零，即：

　　 （2-12） 　　

【例2-6】　構件的支承及荷載情況如圖2-15所示。已知M1=10N·m，M2=25N·m，l=60mm，試求A、B約束力。

解　以AB桿件為研究對象。桿件在水平面內受兩個力偶和兩個支座的鉛垂約束力的作用而平衡。因為力偶只能用力偶平衡，故兩個支座的鉛垂約束力FA和FB必然組成為一力偶，該兩力的方向假設如圖2-15所示，且FA=FB。由平面力偶系的平衡條件，有：

∑M=0，FAl+M1-M2=0

得 　　

計算出來的FA和FB均為正值，說明圖上假設方向正確。

【例2-7】　多軸鉆床在水平放置的工件上鉆孔時，每個鉆頭對工件施加鉛垂壓力和一力偶。已知：三個力偶的力偶矩大小分別為M1=M2=12N·m，M3=24N·m，力偶的轉向如圖2-16所示，固定螺栓A和B之間的距離l=0.2m。求兩螺栓所受的水平力。工件和工作臺面間摩擦不計。

解　選工件為研究對象。

工件在水平面內受三個力偶和兩個螺栓的水平約束力的作用而平衡。因為力偶只能用力偶平衡，故兩個螺栓的水平約束力FA和FB。必然組成為一力偶，該兩力的方向假設如圖2-16所示，且FA=FB。由平面力偶系的平衡條件，有：

∑M=0，-FAl+M1+M2+M3=0

　　 得 　　

計算出來的FA和FB均為正值，說明圖上假設方向正確。