第二節(jié)　力矩及其計算

力對剛體的作用效應(yīng)使剛體的運動狀態(tài)發(fā)生改變，其中力對剛體的移動效應(yīng)可用力矢來度量；而力對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可用力對點的矩（簡稱力矩）來度量，即力矩是度量力對剛體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的物理量。

一、力對點之矩

如圖2-8所示，當(dāng)用扳手?jǐn)Q緊螺母時，力F使螺母繞點O的轉(zhuǎn)動效應(yīng)不僅與力F的大小有關(guān)，而且還與轉(zhuǎn)動中心O到力F作用線的距離d有關(guān)。點O稱為力矩中心，簡稱矩心，矩心O到力作用線的垂直距離d稱為力臂。實踐表明，轉(zhuǎn)動效應(yīng)隨F或d的增大而增強，可用Fd來度量。此外，轉(zhuǎn)動方向不同效應(yīng)也不同。為了表示不同的轉(zhuǎn)動方向，還應(yīng)在乘積前冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號。

在平面問題中，為了度量力使剛體繞某點（矩心O）的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，將Fd冠以適當(dāng)正負(fù)號所得的物理量稱為力F對O點之矩，記作MO（F），即：

MO（F）=±F·d　　（2-6）

力對點之矩是一個代數(shù)量，其正負(fù)規(guī)定為：力使物體繞矩心逆時針方向轉(zhuǎn)動時為正：反之為負(fù)。在國際單位制中，力矩的常用單位為牛頓·米（N·m）、牛頓·毫米（N·mm）或千牛頓·米（kN·m）。

必須指出，求力矩時，矩心的位置可以任意選定。但對繞支點轉(zhuǎn)動的物體，一般選擇支22點為矩心。

由力對點之矩的定義可知，力矩具有以下性質(zhì)。

①力矩的大小和轉(zhuǎn)向與矩心的位置有關(guān)，同一力對不同矩心的矩不同。

②力作用點沿其作用線滑移時，力對點之矩不變。因為此時力的大小、方向未變，力臂長度也未變。

③當(dāng)力的作用線通過矩心時，力臂長度為零，力矩亦為零。

二、合力矩定理

定理：平面匯交力系的合力對于平面內(nèi)任意一點之矩等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。

如圖2-8（b）所示，設(shè)平面匯交力系F1、F2、…、Fn，有合力FR，則：

　　 （2-7） 　　

證明：　　FR=F1+F2+…+Fn

用矢徑r叉乘上式兩端（作矢量積），有：

r×FR=r×（F1+F2+…+Fn）

由于各力與矩心O共面，因此上式中各矢量積相互平行，矢量和可按代數(shù)和進行計算，而各矢量積的大小也就是力對點O之矩，故得：

必須指出，合力矩定理不僅對平面匯交力系成立，而且對于有合力的其他任何力系都成立。

由合力矩定理可得到力矩的解析表達式，如圖2-9所示，將力F分解為兩分力Fx和Fy。則力F對坐標(biāo)原點O之矩為：

MO（F）=MO（Fx）+MO（Fy）=xFy-yFx　　（2-8）

式（2-8）即為平面力矩的解析表達式。其中x、y為力F作用點的坐標(biāo)；Fx、Fy為力F在x、y軸上的投影，它們都是代數(shù)量，計算時必須注意各量的正負(fù)號。

將式（2-8）代入式（2-7），容易得到合力矩的解析表達式：

MO（FR）=∑（xFy-yFx）　　（2-9）

【例2-4】　如圖2-10所示，直齒圓柱齒輪受嚙合力Fn的作用。設(shè)Fn=2000N，α=20°，齒輪的節(jié)圓（嚙合圓）半徑r=60mm，試計算力Fn對軸心的力矩。

解　方法1：由圖2-10（a）可按力矩的定義計算。

MO（Fn）=Fnh=Frcosα=2000×60×10-3cos20°=112.8N·m

方法2：可應(yīng)用合力矩定理計算。

將力Fn分解為圓周力（或切向力）Ft和徑向力Fr，如圖2-10（b）所示，由于徑向力Fr通過矩心O，則：

MO（Fn）=MO（Ft）+MO（Fr）=MO（Ft）=Fncosα·r=112.8N·m

兩種方法計算結(jié)果相同。

【例2-5】　如圖2-11所示，線性分布載荷作用在水平梁AB上，已知載荷集度q，梁長l。試求該力系的合力。

解　先求合力的大小。取B為原點，向左為x軸正向。在梁上距B端為x處取一微段dx，其上作用力大小為qxdx，其中qx為此處的載荷集度。

由圖可知，qx=qx/l，故分布載荷的合力大小為：

再求合力作用線位置。設(shè)合力FR的作用線距B端的距離為h，在微段dx上的作用力對點B之矩為（qxdx）x，全部分布載荷對點B之矩為：

由合力矩定理，得：

代入FR的值，得：

即合力大小等于分布載荷三角形的面積，合力作用線通過三角形的幾何中心。

這一結(jié)論同樣適用于其他形式的分布載荷（如均布載荷、拋物線分布載荷等），即合力大小等于分布載荷圖形的面積，合力作用線通過分布載荷圖形的幾何中心。