第一節(jié)　平面匯交力系合成及平衡

一、平面匯交力系合成的幾何法——力的多邊形法則

設(shè)在剛體某平面上作用一匯交力系F1、F2、…、Fn，力系作用線匯交于A點，其合力FR即利用力合成三角形法則來求得。其矢量表達式為：

FR=F1+F2+…+Fn=∑F

結(jié)論：平面匯交力系可簡化為一個合力，合力的作用點在各力作用線的匯交點，合力為各力的矢量和。

如圖2-1（a）所示，設(shè)在剛體上作用平面匯交力系的四個力F1、F2、F3和F4。根據(jù)力在剛體上的可傳性，將各力的作用點移至作用線的匯交點A，得到一個平面匯交力系，然后依次運用力三角形法則（或平行四邊形法則）求矢量和。如圖2-1（b）所示，先運用三角形法則求F1與F2的合力FR1，然后再將FR1與F3合成得FR2，最后再將FR2與F4合成得力系的合力FR即：

FR=F1+F2+F3+F4

求解合力矢FR時，只需將力系中的各力矢首尾相連，構(gòu)成開口多邊形abcde，這個開口多邊形的封閉邊即為合力矢FR。FR的始端為開口多邊形第一個力的始端，末端為最后一個力的末端。各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。用力多邊形求合力FR的幾何作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則，即幾何法。圖2-1（b）、（c）稱力矢圖，表示各力矢的大小及方向，但不能表示其作用位置。在畫力矢圖時，各分力矢一定要首尾相接，按作圖的先后順序，第一個力矢的終點即為第二個力矢的起點。合力矢就是力多邊形的封閉邊。

【例2-1】　如圖2-2（a）所示，作用在水平梁AB的中點C的力F，其大小為20N，且與梁的軸線成60°。梁的自重不計，試求固定鉸支座A和可動鉸支座B的反力。

解　①取梁AB為研究對象，受力分析，繪制受力分析圖，如圖2-2（b）所示。梁AB上作用力如下：主動力F、固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B，其中已知主動力F方向、活動鉸鏈支座B約束力方向為支承面法線指向被約束物體，則根據(jù)三力平衡匯交定理，梁受到三個力的作用而平衡，可以確定固定鉸鏈支座A的約束力的方向。該力系為平面匯交力系。

②畫力多邊形。如圖2-2（c）所示，先畫已知力F，然后從矢量F的始端E和末端H，分別畫與力FB和FA相平行的矢量，得封閉力多邊形EHK。

③計算。由三角關(guān)系得：

FA=Fcos30°=17.3kN，FB=Fsin30°=10kN

此題也可用比例尺法。即先選定比例尺，按比例尺畫出力矢F的長度，然后按照上述方法畫力多邊形，最后用直尺量出矢量FB和FA的長度，按比例尺計算出力的大小，用量角器在圖上量得矢量FB和FA的方向。

幾何法解題的主要步驟如下。

①選取研究對象。根據(jù)題意，選取適當(dāng)?shù)钠胶馕矬w作為研究對象，并畫出簡圖。

②分析受力，畫受力圖。在研究對象上，畫出所受的全部已知力和未知力（包括約束力）。若某個約束力的作用線不能根據(jù)約束特性直接確定（如鉸鏈），而物體又只受三個力作用，則可根據(jù)三力平衡必匯交的條件確定該力的作用線。

③作力多邊形或力三角形。選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，作出該力系的封閉力多邊形或封閉力三角形。必須注意，作圖時總是從已知力開始。根據(jù)幾何法和封閉特點，就可以確定未知力的指向。

④求出未知量。用比例尺和量角器在圖上量出未知量，或者用三角公式計算。

二、平面匯交力系合成的解析法

1.力在直角坐標軸上的投影

力的作用效應(yīng)取決于力的大小、方向和作用點（對剛體而言是作用線），其大小、方向?qū)ψ饔眯?yīng)的影響可用力在坐標軸上的投影來描述。力在坐標軸上的投影不僅表征了力對物體的移動效應(yīng)，而且還是平面匯交力系合成的基礎(chǔ)。

如圖2-3所示，設(shè)在剛體上的點A作用一力F，在力F的作用線所在的平面內(nèi)任取一直角坐標系Oxy。從力矢的兩端向x軸作垂線，垂足a、b分別稱為點A及B在x軸上的投影。而線段ab冠以相應(yīng)的正負號稱為力F在x軸上的投影，以Fx表示。同理，從力矢的兩端向y軸作垂線，則線段a'b’冠以相應(yīng)的正負號稱為力F在y軸上的投影，以Fy表示。矢量F在軸上的投影不再是矢量而是代數(shù)量，并規(guī)定投影的指向與軸的正向相同為正值，反之為負值。投影與力的大小及方向有關(guān)。設(shè)力F與坐標軸正向間的夾角分別為α及β。則由圖2-3可知：

　　 （2-1） 　　

即力在某軸上的投影等于力的大小乘以力與該軸的正向間夾角的余弦。這對于投影值為正或負的情況都同樣適合，也適合于任何一種矢量在軸上的投影。反之，若已知力F在坐標軸上的投影Fx和Fy，則該力的大小及方向余弦為：

2.合力投影定理

如圖2-4（a）所示，設(shè)剛體平面上作用兩個匯交力F1、F2，根據(jù)力的平行四邊形法則可求出合力FR。在剛體平面內(nèi)任意建立直角坐標系Oxy，如圖2-4（b）所示，將F1、F2和FR分別向x軸做投影，根據(jù)合矢量投影定理可得：

若剛體作用若干個力F1、F2、…、Fn組成的匯交力系，該力系的合成結(jié)果為：

　　 （2-2） 　　

將式（2-2）分別向兩個坐標軸上投影，可得：

　　 （2-3a） 　　

式（2-3a）說明：合力在任意軸上的投影等于諸分力在同一軸上投影的代數(shù)和，此即合力投影定理。

為了簡化書寫，式（2-3a）中的下標i可略去，記為：

　　 （2-3b） 　　

既然合力投影與分力投影之間的關(guān)系對于任意軸都成立，那么，在應(yīng)用合力投影定理時，應(yīng)注意選擇合適的投影軸，盡可能使運算過程簡便。也就是說，選擇投影軸時，應(yīng)使盡可能多的力與投影軸垂直或平行。

3.平面匯交力系合成的解析法

根據(jù)合力投影定理，分別求合力在x、y軸上的投影FRx、FRy，由投影和分力之間的關(guān)系可確定出合力沿x、y軸方向的分力FRx、FRy，如圖2-5所示，則合力FR的大小為：

　　 （2-4） 　　

合力矢的方向由合力矢與x軸的夾角α來確定：

【例2-2】　如圖2-6所示，其為一平面匯交力系，試求合力的大小和方向。

解　合力在x、y軸上的投影分別為：

FRx=∑Fx=F1cos30°-F2cos60°-F3cos45°+F4cos45°=129.3N

FRy=∑Fy=F1sin30°+F2sin60°-F3sin45°-F4sin45°=112.3N

合力與x、y軸的夾角分別為α、β：

則α=41°，β=49°

合力FR作用線通過匯交點。

三、平面匯交力系的平衡

平面匯交力系平衡的充分必要條件是：該力系的合力為零。由式（2-4）可得：

欲使上式成立，必須同時滿足：

　　 （2-5） 　　

即剛體在平面匯交力系作用下處于平衡狀態(tài)時。各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和同時為零。這就是平面匯交力系平衡的解析條件，式（2-5）稱為平面匯交力系的平衡方程。

平面匯交力系有兩個獨立的平衡方程，能求解而且只能求解兩個未知量，它們可以是力的大小，也可以是力的方位，但一般不以力的指向作為未知量，在力的指向不能預(yù)先判明時，可先任意假定，根據(jù)平衡方程進行計算，若求出的力為正值，則表示所假定的指向與實際方向一致；若求出的力為負值，則表示假定的方向與實際指向相反。

【例2-3】　如圖2-7（a）所示，重為P=20kN的物體，用鋼絲繩掛在支架上，鋼絲繩的另一端纏繞在絞車D上，桿AB與BC鉸接，并用鉸鏈A、C與墻連接。如兩桿和滑輪的自重不計，并忽略摩擦與滑輪的大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。

解　①取研究對象。由于忽略各桿的自重，AB、BC兩桿均為二力桿。假設(shè)桿AB承受拉力，桿BC承受壓力，如圖2-7（b）所示。為了求這兩個未知力，可通過求兩桿對滑輪的約束反力來求解。因此，選擇滑輪B為研究對象。

②畫受力圖?；喪艿戒摻z繩的拉力F1和F2（F1=F2=P）。此外桿AB和BC對滑輪的約束反力為FBA和FBC。由于滑輪的大小可以忽略不計，作用于滑輪上的力構(gòu)成平面匯交力系，如圖2-7（c）所示。

③列平衡方程。選取坐標系Bxy，如圖2-7（c）所示。解聯(lián)立方程組，坐標軸應(yīng)盡量取在與未知力作用線相垂直的方向，這樣，一個平衡方程中只有一個未知量，即：

解得FBA=-7.321kN；FBC=27.32kN

所求結(jié)果中，FBC為正值，表示力的實際方向與假設(shè)方向相同，即桿BC受壓。FBA為負值，表示該力的實際方向與假設(shè)方向相反，即桿AB也受壓力作用。