第一節　傅里葉變換原理

一、傅里葉變換（Fourier Transformation/FT）的數學表述

在高等數學中，讀者已對傅里葉級數有了認識。若滿足Dirichlet條件，即可借助傅里葉級數，將周期為T的函數f（t）表示成多項正弦及余弦之和。

　　（5-1）

式中，傅里葉系數為

實際上，傅里葉系數表明了某一頻率對構成函數f（t）所做出的貢獻。

更一般地，針對非周期函數f（t），可以將其看作周期無限大的周期函數，從而將函數的傅里葉變換表述為

　　（5-2）

式中，根據歐拉（Euler）公式，有

exp（-j2πut）=cos（2πut）-jsin（2πut）

而

式（5-2）中的u稱為“頻率變量”。

若將式（5-2）解釋為離散項和的極限，則函數f（t）經傅里葉變換后獲得的F（u）包含無限個正弦項及余弦項，u確定了所對應的正弦及余弦項的頻率。F（u）表達了不同頻率成分的多少。由此，經過傅里葉變換，時間域函數f（t）便可以轉換為頻譜函數F（u）。

同時，如果F（u）已知，則可以借助傅里葉反變換重新獲得函數f（t）：

　　（5-3）

式（5-2）和式（5-3）合稱“傅里葉變換對”。

一般地，實函數傅里葉變換的結果大多是復函數，即F（u）由實部R（u）和虛部I（u）組成

F（u）=R（u）+jI（u）

幅度函數被稱為“傅里葉譜”；|F（u）|2=R2（u）+I2（u）被稱為“能量譜”。

圖5-1為某一隨時間變化的函數f（t）以及經傅里葉變換后的傅里葉譜|F（u）|。

二、圖像的傅里葉變換

如第一章所述，平面圖像是占據二維空間的函數，可將其描述為S=f（x，y）。其中的（x，y）為平面坐標，S為圖像函數值（可以是密度、色度或灰度數值）。

對平面圖像進行的傅里葉變換稱為“二維傅里葉變換”，表述為

　　（5-4）

其反變換為

　　（5-5）

式中，u，v為空間頻率變量。

對應地有

作為一個簡單的例子，如圖5-2（a）所示的“方盒子形”圖像函數f（x，y）=A，其中0≤x≤X，0≤y≤Y，A<∞，對其進行二維傅里葉變換，得到如圖5-2（b）所示的頻譜函數|F（u，v）|。

相應的傅里葉譜為

三、離散傅里葉變換

如果以Δt為間隔，把連續函數f（t）離散化成一個N個數據組成的序列（t=0，1，2，…，N-1）：

f（t）=f（t0+tΔt）

則其傅里葉變換和反變換可以表示為如下離散形式。

　　（5-6）

　　（5-7）

其積分求和的增量。

離散傅里葉變換的求和式可以寫成其他形式，但只要兩式系數的乘積等于即可；也即系數可以是而單獨出現在式（5-6）或者式（5-7）中，也可以按的形式同時出現在上述兩式中。

針對二維的情況，如果平面圖像已分割成像素陣列，由M列、N行像素構成（M和N為整數，Δx=1/M，Δy=1/N），則二維傅里葉變換對的離散形式為

　　（5-8）

　　（5-9）

積分求和的頻率增量。

類似地，上述兩式中的系數既可以單獨出現在式（5-8）或者式（5-9）中，也可以按的形式同時出現在上述兩式中。

離散傅里葉變換具有多種性質，如可分離、線性疊加、共軛對稱、旋轉、尺度變換、空間和頻率平移、卷積、相關等。讀者可以參閱相關書籍了解詳細內容。

對離散數字圖像進行傅里葉變換，其計算量較大。1965年，由庫利（Cooley）和圖基（Tukey）發明了快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）后，大大降低了其計算量，縮短了處理時間，傅里葉變換才得以較廣泛地實用。

圖5-3和圖5-4給出了兩幅數字圖像及其傅里葉譜。在圖中頻域坐標的中心位置，其空間頻率為[0，0]，屬于“直流成分”，而距離該零點越遠，所對應的空間頻率越高。

比較兩幅圖像可以看出，兩幅圖像在頻率域內的特性差異明顯。

圖5-3（a）包含豐富的細節信息，在圖5-3（b）所示的傅里葉頻譜函數中，距中心點較遠的高頻區域內數值較高，最遠端角點處的值大約為3；而圖5-4（a）的圖像灰度變化較為柔和，而在5-4（b）的傅里葉頻譜中，距中心點較近的低頻區域（坐標軸上及附近）的函數值較高，而遠端的高頻區域內的數值較低，最遠端角點處的值大約為2.5。