第二節　余弦變換原理

余弦變換是從傅里葉變換演化而來的一種正交變換。離散形式的余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT）在圖像壓縮、編碼中得到了廣泛應用。

1.連續實偶函數的傅里葉變換

從有關傅里葉變換的討論中可以推論，如果對實偶函數進行傅里葉變換，則傅里葉變換的結果將只包含余弦項（實函數項）。由此，可以將函數進行延拓，使其變為偶函數，再對其進行頻域變換，可以達到相關的目標。

假設連續函數f1（t1）在t1∈[0，+∞）上有定義，按函數軸對稱，將其延拓出f2（t2），且t2∈（-∞，0]，f1（t1）和f2（t2）構成偶函數f（t），t∈（-∞，∞）。按式（5-2）的定義，有

由偶函數的對稱性進行變量替換，可以消去虛部，得到

可見，函數經延拓后進行的傅里葉變換只包含余弦形式的實函數部分。

2.離散余弦變換

若將一維函數f1（t1）表示為離散序列：

f1（0），f1（1），…，f1（N-1），t1=0，1，2，…，N-1

與其對稱的函數為

f2（t2），f2（t2）=f1（-t1-1），t2=-1，-2，…，-N

將兩個函數組成一個離散序列f（t），共包含2N個數據：f1（-N），…，f1（-1），f1（0），…，f1（N-1），且t=-N，…，-1，0，1，2，…，N-1。離散序列f（t）是關于t1=1/2對稱的序列，取此對稱點的傅里葉變換，得到

由上式得

歸一化的離散余弦變換式如下。

正變換：

　　（5-10）

反變換：

　　（5-11）

其中：

在二維情況下，空間離散圖像由MN個像素組成，其余弦變換表示為

正變換：

　　（5-12）

反變換：

　　（5-13）

式中，

圖5-5（a）和（b）分別給出了對圖5-3（a）和圖5-4（a）進行離散余弦變換的結果。圖中較暗的顏色代表頻譜函數值較高，反之，較明亮的顏色則代表函數值較低。從圖中可見，在中頻及部分高頻區域內，圖5-3（a）的頻譜值明顯高于圖5-4（a）；圖5-4（a）僅在低頻區域內具有較高的數值。由此可知圖5-3（a）的高頻成分（細節）較豐富，而圖5-4（a）的低頻成分（漸變色）較強。

作為一種重要的分析手段，對一維或二維信號進行頻率域的變換得到了廣泛的應用。在圖像數據壓縮和編碼方面，利用DCT將圖像表示成頻率域數據，然后根據壓縮以及圖像品質的需求，忽略一部分高頻數據，可以使圖像數據量減小，達到壓縮的目的，這種方法在JPEG圖像文件格式中得到應用。