第三節　采樣定理

一、對模擬信號的采樣

在模擬信號轉換成數字信號的過程中，需要進行三個步驟，即采樣（Sampling）、量化（Quantizing）和編碼（Encoding）。

采樣是指按照某種時間或空間間隔，采集模擬信號的過程。

隨時間變化的一維模擬信號，采樣是按照某種時間間隔采集模擬信號，而隨空間位置變化的二維圖像模擬信號，采樣過程需要按照某種空間位置間隔獲取模擬信號。圖5-6是對一維時間信號u=f（t）和二維圖像信號v=g（x，y）進行采樣的圖示，圖中的虛線為采樣時刻（t）或位置（x，y），小圓圈標示采樣點處的模擬信號值。

二、采樣定理講解

在信號處理領域中，采樣定理具有十分重要的作用。對模擬信號數字化中的采樣過程具有明確的指導意義。

對模擬信號進行采集時，采樣的時間間隔或空間間隔越小（采樣頻率越高），從原始模擬信號中捕捉到細微變化的能力就越強，因錯過而遺漏信號微小變化的可能性就越少。從圖5-6（a）可以看出，由于采樣頻率低，信號的一些迅激的突變沒有被采集到。

由此，問題的關鍵在于——應該以怎樣的采樣頻率采集模擬信號，才能用采樣信號不失真地恢復原始信號。

采樣定理給出的答案是采樣頻率應大于原信號最高頻率的2倍。若原信號的最高頻率為fMAX，則采樣頻率fS>2fMAX。這一臨界采樣頻率2fMAX亦稱為“奈奎斯特頻率”（Nyquist frequency）。如果采樣頻率低于原信號最高頻率的2倍，則恢復的信號中會包含原信號中不存在的低頻成分，稱為“混淆”，它會對信號造成干擾。

采用傅里葉變換可以獲得信號的頻譜，并從中得知信號最高頻率的數值。圖5-7給出了一個時間信號f（t）及其傅里葉譜[圖5-7（b）]，從中可以看到，信號的最高有效峰值頻率為120Hz（超過此頻率的頻譜成分能量很小）。采用高于240Hz的采樣頻率對該信號進行采樣，即可由采樣得到的離散信號還原原始信號。

在印前圖像處理采集、處理和傳遞過程中，圖像頻譜成分的傳遞受到多種因素的影響。例如，原稿的掃描分辨率設置、圖像掃描設備和數碼攝影設備的分辨能力、加網的類型和參數設置（調幅加網線數、調頻網點尺寸等）、網點在記錄輸出、曬版、印刷等傳遞過程中的完整準確性等。各種圖像處理算法對圖像頻譜也有相當的影響。

在圖像的印刷傳遞過程中，依據原稿特點和采樣定理進行適當的分辨率設置是很重要的，因為這一步驟決定了從原稿上采集到的原始圖像頻譜狀況。在此，采樣定理的指導意義是很明顯的。

復習思考題

1.若x∈[0，1]，y∈[0，1]，對圖像函數z=2-x-y進行傅里葉變換，給出頻譜函數|F（u，v）|。

2.在某種編程環境下，編寫1個程序，對下列8×5像素群體進行離散余弦變換，給出變換結果。

3.定性說明如下兩幅圖像在頻譜上的差異。