2.4　交流電路的功率

2.4.1　瞬時(shí)功率

如圖2-30所示，若通過阻抗Z的電流為i=Imsinωt，則Z兩端的電壓為u=Umsin（ωt+φ），在電流、電壓關(guān)聯(lián)參考方向下，瞬時(shí)功率為

p=ui=Umsin（ωt+φ）×Imsinωt=UIcosφ-UIcos（2ωt+φ）　　（2-54）

在式（2-54）中，第一項(xiàng)為不變的部分，總是大于等于零，是耗能元件上瞬時(shí)功率；第二項(xiàng)為變化的部分，是儲(chǔ)能元件上瞬時(shí)功率。由此可見，在每一瞬間，電源提供的功率一部分被耗能元件消耗，另一部分與儲(chǔ)能元件進(jìn)行能量交換。

2.4.2　有功功率與功率因數(shù)

一個(gè)周期內(nèi)瞬時(shí)功率的平均值稱為平均功率，也稱有功功率。

式中，λ=cosφ稱為電路的功率因數(shù)。可見，正弦交流電路中的有功功率不但與電壓、電流有關(guān)，還與電壓和電流相位差的余弦值有關(guān)。

可見，在正弦交流電路中，電感、電容元件實(shí)際不消耗電能，而電阻總是消耗電能的。

有功功率是電路實(shí)際消耗的功率，即二端網(wǎng)絡(luò)中，各電阻所消耗的有功功率之和。有功功率的單位是瓦特（W）。

2.4.3　無功功率

電路中的電感元件與電容元件要與電源之間進(jìn)行能量交換，根據(jù)電感元件、電容元件的無功功率，考慮到與相位相反，于是

Q=（UL-UC）I=（XL-XC）I2=UIsinφ　　（2-56）

單個(gè)電感元件，

QL=ULILsinφ=ULIL>0

單個(gè)電容元件，

QC=UCICsinφ=-UCIC<0

即電感的無功功率取正值，而電容的無功功率取負(fù)值，以便區(qū)別。在既有電感又有電容的電路中，總的無功功率為QL與QC的代數(shù)和，即

Q=QL-QC

無功功率的單位是乏（var）。

2.4.4　視在功率

在交流電路中，電壓與電流有效值的乘積，只能表示電源可能提供的最大功率，叫視在功率，用字母S表示。即

S=UI=I2|Z|　　（2-57）

視在功率的單位是伏安（V·A），常用來表示電氣設(shè)備的容量。

根據(jù)上面對(duì)有功功率P、無功功率Q和視在功率S的分析，將交流電路表示電壓間關(guān)系的電壓三角形的各邊乘以電流I即成為功率三角形，如圖2-31所示。

由功率三角形可得到P、Q、S三者之間的關(guān)系為

P=UIcosφ

Q=UIsinφ

【例2-17】　已知電阻R=30Ω，電感L=382mH，電容C=40μF，串聯(lián)后接到電壓u=sin（314t+30°）V的電源上。求電路的P、Q和S。

解：電路的阻抗為

電壓相量

因此電流相量

電路的平均功率

P=UIcosφ=220×4.4cos53°=583W

電路的無功功率

Q=UIsinφ=220×4.4sin53°=773var

電路的視在功率

S=UI=220×4.4=968V·A

由上可見，φ=53°>0，電壓相位超前于電流相位。因此電路為感性。

【例2-18】　在RLC元件串聯(lián)電路中，已知R=20Ω，L=100mH，C=40μF，電源電壓u=311sin（314t+30°）V。求：①電流的瞬時(shí)值i與有效值I；②各部分電壓的瞬時(shí)值及有效值；③P和Q。

解：求電路的阻抗

XL=ωL=314×100×10-3=31.4Ω

Z=R+j（XL-XC）=（20-j48.6）Ω

①電流的瞬時(shí)值與有效值

②電壓的瞬時(shí)值及有效值

UR=RI=20×4.2=84V

因電阻的電壓與電流同相，故

UL=XLI=31.4×4.2=131.9V

因電感上的電壓超前流過的電流90°，故

因電容上的電壓滯后流過的電流90°，故

③有功功率、無功功率

P=UIcosφ=220×4.2×cos（-67.6°）=352W

Q=UIsinφ=220×4.2×sin（-67.6°）=-854var

因無功功率小于零，所以電路呈現(xiàn)電容性質(zhì)。

2.4.5　功率因數(shù)的提高

由功率三角形可得

cosφ=P/S　　（2-58）

由式（2-58）可見，功率因數(shù)表示的是有功功率占視在功率的份額。而有功功率為P=UIcosφ=Scosφ，是用電設(shè)備（負(fù)載）吸收的功率。視在功率S=UI表示供電設(shè)備的容量，也是電源提供的功率。如果P=S，則cosφ=1，表明電源提供的功率全部被負(fù)載利用做了有用功。一般情況下，P總是小于等于S，所以cosφ的取值范圍為0≤cosφ≤1。cosφ越大，電源提供的有功功率越多。可見，功率因數(shù)cosφ的大小，直接影響供電設(shè)備的有效利用。而決定cosφ大小的是負(fù)載的電壓和電流的相位差φ，即與負(fù)載的性質(zhì)有關(guān)。如在純電阻電路中Q=0，P=S，λ=1，功率因數(shù)最高，電源提供的功率被負(fù)載全部利用了；在純電容和純電感電路中P=0，Q=S，λ=0，功率因數(shù)最低。

功率因數(shù)低會(huì)帶來下面兩個(gè)問題。

（1）電源設(shè)備的容量不能充分利用

交流電源設(shè)備（發(fā)電機(jī)、變壓器等）一般是根據(jù)額定電壓和額定電流進(jìn)行設(shè)計(jì)、制造和使用的。它能夠提供給負(fù)載的有功功率為P=UNINcosφ。如果cosφ低，則負(fù)載吸收的有功功率低，電源的潛力沒有得到充分發(fā)揮。例如額定容量1000kV·A的變壓器，若負(fù)載的功率因數(shù)cosφ=1，則變壓器額定運(yùn)行時(shí)可供給有功功率1000kW；若負(fù)載的功率因數(shù)為0.5，則變壓器額定運(yùn)行時(shí)只能輸出有功功率500kW。如果增加輸出，則電流必定過載，此時(shí)變壓器遠(yuǎn)沒有得到充分利用。

（2）增加線路的損耗

由公式I=P/（Ucosφ）知，當(dāng)電源電壓U及輸出有功功率P一定時(shí)，負(fù)載的功率因數(shù)cosφ越低，線路電流I越大。而線路的功率和電壓損耗分別為P0=I2R0及U0=IR0（R0為線路電阻），線路電流I越大，兩種損耗越大。功率因數(shù)越高，則線路電流越小，兩種損耗越低。如果能夠設(shè)法補(bǔ)償感性負(fù)載的這部分無功功率，減少感性負(fù)載與電源之間的能量交換，就能使電源的容量被充分利用。所以，研究如何提高電路的功率因數(shù)具有實(shí)際意義。

提高電感性電路的功率因數(shù)，除盡量提高負(fù)載本身的功率因數(shù)外，還可以采取與電感性負(fù)載并聯(lián)電容的辦法。可以在電力用戶變電所的高壓側(cè)并聯(lián)電力電容，也可以在用戶的低壓進(jìn)線處并聯(lián)低壓電容。

電路如圖2-32所示。

并聯(lián)電容前后的電流相量如圖2-33所示。

可見，并聯(lián)電容后，φ2<φ1，因而，cosφ2>cosφ1，從而提高了功率因數(shù)。

因?yàn)?/p>

又因

IC=U/XC=UωC

所以

由此得

需要說明的是，提高功率因數(shù)是指提高整個(gè)線路的功率因數(shù)，感性負(fù)載自身的功率因數(shù)是無法改變的。并聯(lián)電容后，感性負(fù)載所需的無功功率大部分或全部由電容供給，即能量交換主要或完全發(fā)生在電感與電容之間，因而電源設(shè)備的容量得到更充分利用，同時(shí)線路的總電流減小，降低了線路的損耗。一般將功率因數(shù)提高到0.9左右，因?yàn)槿魧⒐β室驍?shù)提高到接近于1，則所需的電容量太大，電容成本增加，反而不經(jīng)濟(jì)。

【例2-19】　圖2-32所示電路中，電壓U=220V，感抗XL=8Ω，電阻R=6Ω，容抗XC=18Ω。求電流I1、IC、I，功率因數(shù)cosφ1、cosφ2。

【例2-20】　欲將功率為40W、工頻電壓為220V、電流為0.364A的日光燈電路的功率因數(shù)提高到0.9，應(yīng)并聯(lián)多大的電容器？此時(shí)電路的總電流是多少？

φ1=arccos0.5=60°

tanφ1=tan60°=1.732

φ2=arccos0.9=25.8°

tanφ2=tan25.8°=0.483

【例2-21】　有一電感性負(fù)載，其功率P=10kW，功率因數(shù)cosφ1=0.6，接在電壓U=220V的電源上，電源頻率f=50Hz。

①如果將功率因數(shù)提高到cosφ=0.95，試求與負(fù)載并聯(lián)的電容值和并聯(lián)電容前、后的線路電流。

②如要將功率因數(shù)從0.95再提高到1，試問并聯(lián)電容器的電容值還需增加多少？

解：①cosφ1=0.6，φ1=53°；cosφ=0.95，φ=18°

所需電容為

電容器并聯(lián)前的線路電流

電容器并聯(lián)后的線路電流

②如要將功率因數(shù)由0.95提高到1，則需要增加的電容值為

可見，在功率因數(shù)已經(jīng)接近1時(shí)，若再繼續(xù)提高，則所需的電容值很大。

知識(shí)拓展：日光燈電路分析

（1）日光燈電路的組成

日光燈電路主要由燈管、啟輝器和鎮(zhèn)流器組成。連接關(guān)系如圖2-34所示。

①燈管　日光燈管由玻璃管和燈絲組成，它的內(nèi)壁均勻地涂有一層薄薄的熒光粉，燈管內(nèi)還充有惰性氣體與水銀蒸氣。當(dāng)管內(nèi)發(fā)生輝光放電時(shí)，由于有水銀蒸氣，會(huì)放射紫外線，紫外線照射在熒光粉上發(fā)出可見光。燈絲由鎢絲制成，其作用是發(fā)射電子。

②鎮(zhèn)流器　鎮(zhèn)流器是繞在鐵芯上的電感線圈，燈管相當(dāng)于一個(gè)電阻元件，在電路上燈管和鎮(zhèn)流器相串聯(lián)。在日光燈啟動(dòng)時(shí)，電感線圈產(chǎn)生足夠的自感電動(dòng)勢(shì)，使燈管內(nèi)的氣體放電；在日光燈正常工作時(shí)，電源電壓按比例分配，鎮(zhèn)流器對(duì)燈管起分壓和限流作用。不同功率的燈管應(yīng)配以相應(yīng)的鎮(zhèn)流器。

③啟輝器　啟輝器是一個(gè)小型的輝光管，管內(nèi)充有惰性氣體，并裝有兩個(gè)電極；一個(gè)是固定電極，另一個(gè)是倒“U”形的可動(dòng)電極。兩個(gè)電極上都焊接有觸頭。倒“U”形的可動(dòng)電極由膨脹系數(shù)不同的兩種金屬片制成。

（2）日光燈點(diǎn)燃過程

剛接通電源時(shí)，燈管內(nèi)氣體尚未放電，電源電壓全部加在啟輝器上，啟輝器內(nèi)固定電極、可動(dòng)電極間的氖氣發(fā)生輝光放電并發(fā)熱，倒“U”形的金屬片受熱膨脹。內(nèi)層金屬的熱膨脹系數(shù)大，雙金屬片受熱后趨于伸直，使金屬片上的觸點(diǎn)閉合，電路接通。電流通過燈管兩端的燈絲，燈絲受熱后發(fā)射電子，而當(dāng)啟輝器的觸點(diǎn)閉合后，兩電極間的電壓降為零，輝光放電停止，雙金屬片經(jīng)冷卻后恢復(fù)原來位置，與兩觸點(diǎn)重新分開。

為了避免啟輝器斷開時(shí)因產(chǎn)生火花而將觸點(diǎn)燒毀，通常在兩電極間并聯(lián)一只極小的電容器。

在雙金屬片冷卻后觸點(diǎn)斷開瞬間，鎮(zhèn)流器兩端產(chǎn)生相當(dāng)高的自感電勢(shì)，這個(gè)自感電勢(shì)與電源電壓一起加到燈管兩端，使燈管發(fā)生弧光放電，弧光放電所放射的紫外線照射到燈管的熒光粉上，就發(fā)出可見光。

燈管點(diǎn)亮后，較高的電壓降落在鎮(zhèn)流器上，燈管電壓只有100V左右，這個(gè)較低的電壓不足以使啟輝器放電。因此，它的觸點(diǎn)不能閉合。這時(shí)，日光燈電路因有鎮(zhèn)流器的存在，所以形成一個(gè)功率因數(shù)很低的感性電路。