2.3　串聯、并聯交流電路

2.3.1　RLC串聯交流電路

（1）RLC串聯電路

如圖2-17（a）為RLC串聯的交流電路；圖2-17（b）是它的電壓相量圖。

根據KVL定律可列出

u=uR+uL+uC

如用相量形式，則有

又根據電阻、電感和電容伏安關系的相量形式，各元件上的電壓為

將以上各式代入式（2-40），得

Z稱阻抗，是純復數，它在電路中的作用與電阻相同，單位是歐姆（Ω），其實部為電阻，虛部X=XL-XC稱為電抗。

阻抗角　　φ=arctan（X/R）　　（2-44）

由以上分析可以看出，引入阻抗的概念，電壓與電流相量的關系為

該式稱為歐姆定律的相量形式。

由式（2-43）、式（2-44）可以看出，阻抗模表示電壓與電流的大小關系，阻抗角表示電壓與電流的相位差，由R、L和C決定。

下面討論三種不同的情況：

①如果X>0，即XL>XC，則φ>0。這說明電感起主要作用，電路呈電感性，此時電壓相位超前于電流相位。該電路可以用等效的RL串聯電路來表示。圖2-17（b）所示即為此種情況。

②如果X<0，即XL<XC，則φ<0。這說明電容起主要作用，電路呈電容性，此時電壓相位滯后于電流相位。該電路可以用等效的RC串聯電路來表示。

③如果X=0，即XL=XC，則φ=0。此時電路呈電阻性，電壓與電流同相，這種現象叫諧振。

為了便于記憶，將圖2-17（b）所示的相量圖中由各部分電壓組成的直角三角形分離出來，如圖2-18所示，并稱其為電壓三角形。

利用這個電壓三角形，可求得電源電壓的有效值，即

由上式可得

將電壓三角形的各邊分別除以電流I，可得阻抗三角形。阻抗三角形表示|Z|、R、XL-XC三者之間的關系，如圖2-19所示。

顯然，電壓三角形與阻抗三角形是相似的。因此有

【例2-9】　在RLC串聯電路中，R=30Ω，XL=40Ω，XC=80Ω，若電源電壓u=220sinωtV，求電路的電流、電阻電壓、電感電壓和電容電壓的相量。

解：由于，因此

【例2-10】　將RLC串聯電路接到220V交流電源上，已知R=50Ω，L=0.5H，C=10μF。試求在工頻和400Hz兩種情況下，電路中的電流，電壓與電流的相位關系，并分析電路的性質。

解：①在工頻情況下（f=50Hz）

XL1=2πfL=2×3.14×50×0.1=31.4Ω

由于XL1<XC1，故此時電路呈容性

電路中的電流為

因為φ1<0，所以電壓滯后電流80.1°。

②在頻率f=400Hz情況下

XL2=2πfL=2×3.14×400×0.1=251.2Ω

由于XL2>XC2，故此時電路呈感性。

電路中的電流為

因為φ2>0，所以電壓超前電流76.7°。

（2）RL串聯電路

實際的設備大部分都呈電感性，如日光燈負載，可以用理想電阻與理想電感相串聯的電路模型表示，這類負載稱為感性負載，簡稱RL串聯電路，如圖2-20所示。

RL串聯電路的電壓方程為

u=uR+uL

因為

所以

RL串聯電路的阻抗

Z=R+jXL

阻抗的模

相位角

【例2-11】　圖2-20所示電路，電感為理想元件，當輸入直流電壓6V時，I=2A；當u為50Hz、10V的交流電壓時，I=2A。求：①L=？；②當交流電壓的頻率增加一倍時，I為多少？

解：①當輸入直流電壓時，L可視為短路，此時可求得電阻阻值為

R=U/I=6/2=3Ω

當u為交流電壓時，可求得電路阻抗模，即

|Z|=U/I=10/2=5Ω

得　　XL=4Ω=ωL

則　　L=4/314H=0.0127H=12.7mH

②當頻率增加一倍，即f=100Hz時，XL=ωL=8Ω

則

所以此時的電流有效值為

2.3.2　RLC并聯交流電路

電阻、電感串聯與電容并聯電路如圖2-21所示。

RL支路中的電流

該支路相位角

電容支路中的電流

總電流相量等于兩條支路中電流的相量和，即

其相量圖如圖2-22所示。

【例2-12】　在圖2-23所示電路中，已知U=220V，R=22Ω，XL=22Ω，XC=11Ω，試求電流IR、IL、IC和I。

解：電阻支路電流

電感支路電流

電容支路電流

總電流

2.3.3　阻抗及其串、并聯

阻抗的串聯與并聯是交流電路中最常見的連接方式。所以必須要掌握這種連接形式的電壓和電路的關系。

（1）阻抗的串聯

圖2-24（a）所示是兩個阻抗組成的串聯電路。其復阻抗分別用Z1和Z2表示。由KVL的相量形式，有

因此，兩個元件串聯，可以用一個等效復阻抗Z表示，這個等效阻抗

Z=Z1+Z2　　（2-47）

圖2-24（a）可以用圖2-24（b）的等效電路來表示。

一般地說，對于n個元件的串聯交流電路，其等效阻抗

對于圖2-24（a）所示的串聯電路，每個元件電壓分配關系為（串聯分壓）

（2）復阻抗的并聯

圖2-25表示兩個復阻抗的并聯電路，其復阻抗分別為Z1和Z2。由KCL的相量形式，有

同樣，兩個元件并聯也可以用一個等效復阻抗Z表示。圖2-25（b）表示的是圖2-25（a）的等效電路，由式（2-50）得

即

一般來說，對于n個元件相并聯，其等效復阻抗Z有：

對圖2-25（a）所示的兩個元件的并聯電路，每條支路電流分配關系為（并聯分流）

由以上分析不難看出，在正弦交流電路中，將電壓、電流用相量表示，電路參數用阻抗表示，則直流電路中的公式、定律等均可以進行推廣應用。

【例2-13】　在圖2-26所示電路中，已知Z1=（4+j3）Ω，Z2=（2-j9）Ω，。求電流和各阻抗的電壓。

解：

【例2-14】　如圖2-27所示電路中，，Z1=50Ω，Z2=（100+j200）Ω，Z3=-j400Ω，試求等效阻抗Z和電流I。

解：①求等效阻抗Z

②計算電流

【例2-15】　如圖2-28所示，已知Z1=（20+j100）Ω，Z2=（50+j150）Ω，當要求滯后，求電阻R。

解：令，則

所以

因為滯后，則

所以

70R-14000=0

R=200Ω

【例2-16】　如圖2-29（a）所示，已知R1=40Ω，XL=157Ω，R2=20Ω，XC=114Ω，電源電壓，頻率f=50Hz。試求支路電流、和總電流，并作出各電流的相量圖。

解：

由于各支路的電壓相同，因此，以電壓為參考相量，再分別畫出各支路電流相量和總電流相量，如圖2-29（b）所示。