2.2　單一參數的正弦交流電路

本節將討論電路由某些單一參數元件組成時，在正弦電源作用下，電壓、電流關系的相量形式及其功率表現。

2.2.1　電阻元件的正弦交流電路

（1）電阻元件上電壓和電流的關系

純電阻電路是最簡單的交流電路，如圖2-8所示。我們所接觸到的白熾燈、電爐、電烙鐵等都屬于電阻性負載，它們與交流電源連接組成純電阻電路。

在圖2-8中，電壓與電流的關系在任何瞬時都服從歐姆定律，即

u=Ri

設流過電阻的正弦電流

則

電阻兩端的電壓與其流過的電流是同頻率的正弦量，它們的大小和相位關系分別為

U=RI　　（2-16）

φu=φi　　（2-17）

可見，對于電阻的正弦交流電路，電壓的有效值（或幅值）與電流的有效值（或幅值）成正比，且電壓與電流同相。

由式（2-16）、式（2-17）可得電阻元件電壓與電流的相量關系為

上式稱為電阻元件電壓電流關系的相量形式，或稱為相量形式的歐姆定律。它全面反映了電阻元件上正弦電壓與電流的大小關系和相位關系。

其相量模型和相量圖如圖2-9所示。

（2）電阻元件的功率

①瞬時功率　電阻在某一時刻消耗的電功率叫做瞬時功率，它等于電壓u與電流i瞬時值的乘積，并用小寫字母p表示。

設流過電阻的電流、電壓瞬時值分別為：

則

據此可畫出電阻元件瞬時功率的波形圖，如圖2-10所示。

由圖2-10可以看出，在任何瞬時，恒有p≥0。這說明電阻是一種耗能元件，它將電能轉為熱能。

②平均功率　由于瞬時功率是隨時間變化的，其實用意義不大，因此工程上常采用平均功率。

平均功率是指瞬時功率在一個周期內的平均值，用大寫字母P表示。即

由于U=RI，因此電阻的平均功率也可表示為

平均功率表示電阻實際消耗的功率，又稱為有功功率，其單位為瓦（W）。由于通常所說的功率都是指平均功率，因此簡稱功率。

例如功率為40W的白熾燈，是指白熾燈在額定工作情況下，所消耗的平均功率為40W。

注意：上式與直流電路中電阻功率的表達式相同，但式中的U、I不是直流電壓、電流，而是正弦交流電的有效值。

【例2-6】　在圖2-8所示電路中，R=10Ω，，求電流i的瞬時值表達式、相量表達式和平均功率P。

解：由，得

P=UI=10×1=10W

2.2.2　電感元件的正弦交流電路

（1）電感元件上電壓和電流的關系

純電感電路如圖2-11所示。

設流過電感的電流為

則電感兩端電壓為

比較式（2-22）和式（2-23）可見，電感元件兩端的電壓u與流過的電流i是同頻率的正弦量，它們的大小和相位關系為

U=ωLI　　（2-24）

φu=φi+90°　　（2-25）

可見，對于電感的正弦交流電路，電壓的有效值（或幅值）與電流的有效值（或幅值）成正比，且電壓的相位超前電流90°。

式（2-24）、式（2-25）表明了電感元件在正弦交流電路中的電壓電流關系，用相量表示為

式（2-26）稱為電感元件電壓電流關系的相量形式。它全面反映了電感元件上正弦電壓與電流的大小關系和相位關系。其相量模型和相量圖如圖2-12所示。

由式（2-24）有

上式說明電感元件電壓與電流有效值（或幅值）之比不僅與電感L有關，而且與頻率f有關，這是電感元件在正弦交流電路中表現出來的重要特性。顯然，ωL具有電阻的單位，即歐姆（Ω），它表示了電感元件對正弦交流電的阻礙作用，稱為感抗，用XL表示，即

XL=ωL=2πfL　　（2-27）

當f=0時XL=0，表明線圈對直流電流相當于短路，這就是線圈本身所固有的“通直流阻交流，通低頻阻高頻”特性。

引入感抗概念后，式（2-26）又可寫為

（2）電感元件的功率

①瞬時功率　設流過電感的電流

則

電感元件的瞬時功率

式（2-29）表明，電感元件的瞬時功率p隨時間t按正弦規律變化，其角頻率為2ω。瞬時功率p可為正值，也可以為負值。當p>0時，表示電源供給電感元件電能，電感元件將電能轉化為磁場能，并存儲在電感元件中；當p<0時，表示電感元件將所儲存的磁場能量釋放出來返還給電源。

可見電感元件在正弦交流電路中不斷地進行電能和磁場能之間的轉換，這是儲能元件與耗能元件的重要區別。

瞬時功率p隨時間t變化的曲線如圖2-13所示。

②平均功率　電感元件瞬時功率在一個周期的平均值稱為平均功率或有功功率，即

式（2-30）說明電感元件與電源之間只有能量的交換，它本身不消耗能量，所以電感是儲能元件。

為了衡量電感元件與電源之間進行能量交換的大小，通常將瞬時功率的最大值稱為無功功率，用QL表示，其單位為乏（var）或千乏（kvar）。

電感元件的無功功率為

【例2-7】　把一個電感量為0.35H的線圈，接到的電源上，求線圈中電流瞬時值表達式。

解：由電壓的解析式可知

U=220V，ω=100πrad/s，φ=60°

XL=ωL=100×3.14×0.35≈110Ω

因此，通過線圈的電流瞬時值表達式為

2.2.3　電容元件的正弦交流電路

（1）電容元件上電壓和電流的關系

純電容電路如圖2-14所示。

設電容兩端的電壓為

則流過電容的電流為

比較以上兩式可見，流過電容的電流i與電容兩端的電壓u是同頻的正弦量，它們的大小和相位關系為

I=ωCU　　（2-32）

φi=φu+90°（2-33）

可見，對于電容的正弦交流電路，電壓的有效值（或幅值）與電流的有效值（或幅值）成正比，且電流的相位超前電壓90°。

式（2-32）、式（2-33）表明了電容元件在正弦交流電路中的電壓電流關系，用相量表示為

式（2-34）稱為電容元件電壓電流關系的相量形式。它全面反映了電容元件上正弦電壓與電流的大小關系和相位關系。其相量模型和相量圖如圖2-15所示。

由式（2-32）可得

上式說明在電容的正弦交流電路中，電壓與電流有效值（或幅值）之比不僅與電容C有關，而且與頻率f有關，這是電容元件在正弦交流電路中所表現的重要特點。由于1/（ωC）也具有電阻的單位，即歐姆（Ω），它體現了電容對正弦交流電的阻礙作用，故稱為容抗，用XC表示，即

電容元件對高頻電流所呈現的容抗很小，相當于短路；而當頻率很低或直流（f=0）時，電容就相當于開路。這就是電容的“通交流隔直流，通高頻阻低頻”特性。引入容抗的概念后，式（2-34）又可寫為

（2）電容元件的功率

①瞬時功率　對于電容的正弦交流電路，為了與電感的正弦電路相比較，改設電容電源i為參考正弦量，即

則

所以電容元件的瞬時功率

上式表明，電容的瞬時功率p以UI為幅值，以2ω為角頻率隨時間按正弦規律變化。瞬時功率p可正可負，當p>0時，表示電容吸收電能，并將其轉換成電場電能；當p<0時，表示電容釋放能量，并將其還給電源。電容與電源之間不停地進行能量交換，是電容元件在正弦交流電路中表現出來的另一重要特性。

電容元件的瞬時功率p隨時間t變化的曲線如圖2-16所示。

②平均功率　與電感元件類似，電容元件的平均功率為

上式說明電容元件本身不消耗功率，所以它不是耗能元件，而是儲能元件。

對于電容元件，為了體現其與電感元件具有不同的性質，通常將電容瞬時功率幅值的相反數定義為電容的無功功率，用QC表示，即

【例2-8】　把電容量為40μF的電容器接到正弦交流電源上，如果通過電容器的電流為，試求電容器兩端的電壓瞬時值表達式。

解：根據電流解析式得

I=2.75A，ω=314rad/s，φ=30°

則

電容器的容抗為

電容器兩端電壓瞬時值表達式為