第四節　直接測量的數據處理

在物理實驗教學中，直接測量數據處理的一般程序是：

（1）以測量列x1，x2，…，xn為樣本；

（2）求出樣本均值作為測量結果的最佳值；

（3）根據樣本進行A類評定求出uA；

（4）根據測量儀器的性能進行B類評定，求出uB；

（5）再求出標準不確定度；

（6）最后求出擴展不確定度U=2u，寫出結果表達式。

一、測量結果的最佳估計值

對被測量進行直接測量時，通常是對被測量進行n次測量，得到一個測量列

x1，x2，…，xn

它的樣本均值

就是測量結果的最佳值。

二、不確定度A類評定

n個測量值中，任一測量值xi的大小都具有隨機性，即它分布在某一個區間內的任何一點都是可能的，由貝塞爾公式給出實驗標準差

表明了任一測量值xi的分散性。樣本均值是通過隨機取出的樣本計算出來的，所以也有分散性，比如對同一被測量進行若干組重復測量，每一組都得到n個測量值，則每一組都能計算出一個平均值這些平均值也是各不相同的，所以也有分散性。只不過的分散性比S（xi）更小，平均值的分散性的大小用平均值的標準差

來表征。

由于實驗中測量次數較少（一般5～8次），的分散性還要大一些，還需要乘以t分布因子tn（p），其大小與測量次數n和置信概率p有關（參見閱讀材料）。于是用統計分析方法評定出的關于的A類標準不確定度為

uA的大小反映了測量結果由重復性引起的不確定度分量。

表2-2給出置信概率為0.683時tn（p）隨測量次數變化的關系。

三、不確定度B類評定

下面討論由系統效應引起的不確定度分量的評定方法。在多數情況下，由系統效應引起的不確定度分量需采用不同于A類評定的其他方法來評定，稱為B類評定。

在進行B類評定時，首要問題是要知道測量儀器的“最大允許誤差”。所謂最大允許誤差，是指對給定的測量儀器，有關規范、規程允許的誤差極限值，本書以Δ儀來表示。儀器的型號不同，其最大允許誤差也不同。有些儀器可以通過查詢國家計量檢定規程而得到，如卡尺、千分尺、天平等。有些儀器可以在其銘牌和使用說明書中查到，如直流電橋、直流電位差計等。還有些儀器，在銘牌上給出了準確度等級，它可以換算成Δ儀。總之，在進行B類評定時，要通過查閱相關資料以獲得測量儀器的性能參數（參見附錄1）。

儀器的最大允許誤差，是儀器示值相對測量結果之差的最大允許值，也可以理解為這個差值的分布不會超過（-Δ儀，+Δ儀）這一區間，或者說在不考慮隨機誤差時被測量值以100％的置信概率包含在（，）這一區間之內。因為uB的置信概率小于Δ儀的置信概率，所以在量值上uB<Δ儀，本書約定

四、標準不確定度和擴展不確定度的計算

uA是由A類評定得到的標準不確定度分量，uB是由B類評定得到的標準不確定度分量，將uA和uB按方和根合成，得到的標準不確定度

將式（2-8）、式（2-9）代入上式得

這樣，的擴展不確定度為

U=2u　　（2-12）

五、測量結果表達式

對直接測量來說，測量結果為，擴展不確定度為U，則測量結果表達式為

下面對式（2-13）做幾點說明

（1）式（2-13）說明被測物理量的量值以較大概率落于（，）區間之內。當k=2時，這一概率可望達到95％以上。或者反過來說，被測量的量值落在上述區間之外的可能性較小，其概率不會超過5％。

（2）測量結果表達式應附有被測物理量的單位。

（3）關于和的計算，應借助帶有統計運算功能的袖珍計算器，它可以使繁重的計算變得輕松和快捷。袖珍計算器的操作方法見附錄1。

（4）關于有效數字取位的原則：擴展不確定度U只取1位有效數字，第2位按四舍五入處理。當U的首位數為1或2時，可取2位有效數字，相對擴展不確定度應取2位有效數字。平均值的有效數字首先按運算規則確定，結果表達時的末位要與U所在位對齊（有效數字末位是不確定度所在位），最末一位按“四舍六入五湊偶”原則舍入。

六、直接測量的數據處理舉例

【例2-1】　用Δ儀=0.02mm的游標卡尺測某物長度，測量數據（單位：mm）是

29.18，29.24，29.28，29.26，29.22，29.24

求：（1）樣本均值；（2）單次測量值的實驗標準差S（xi）；（3）平均值的標準差；（4）A類評定的不確定度分量uA；（5）B類評定的不確定度分量uB；（6）擴展不確定度U；（7）寫出測量結果表達式。

解　將測量值逐一輸入計算器，經統計運算后，屏上分別顯示出

（1）：29.23666667

（2）S（xi）：0.0344448134

（3）：0.014063392

（4）A類分量

（5）B類分量

（6）擴展不確定度

（7）下面對U和進行有效數字修約，U的首位數是3，可取1位有效數字，所以U=0.04，末位與U所在位對齊，即的末位應在百分位上，因為U就是在百分位上。這樣結果表達式應寫成

　　　　　　　　　　　　　x=（29.24±0.04）mm，k=2

也可以寫成　　　　　　　　x=29.24（1±0.14％）mm，k=2

【例2-2】　改正下面給出的結果表達式錯誤。

（1）x=17000±1000m；

（2）x=10.8000±0.25cm；

（3）x=567.84±8.47（s）；

（4）x=3.29×103±86.3（cm3）

解　（1）x=（1.70±0.10）×104m；

（2）x=（10.80±0.25）cm；

（3）x=（568±8）s；

（4）x=（3.29±0.09）×103cm3

【例2-3】　某一數字多用表，最大允許誤差為Δ儀=0.005％×讀數+3×最小步進值。

用此儀表測高值電阻共測量10次，數據如下（單位kΩ）

999.31，999.41，999.59，999.26，999.54，999.23，999.14，999.06，999.92，999.62

試寫出測量結果表達式。

解　測量結果

實驗標準差

平均值的標準差

不確定度分量A類評定

由系統效應（儀表準確性）引入的不確定度分量B類評定

測量結果的標準不確定度

擴展不確定度為　　　　　　　U=2u=0.196=0.20kΩ

因為U的首位數是1，所以取兩位有效數字。結果表達式為

R=（999.41±0.20）kΩ，k=2

相對擴展不確定度也可以寫成

R=999.41（1±0.020％）kΩ，k=2