第五節　間接測量的數據處理

被測量y與其他量有函數關系，測量結果由函數計算而得

y=f（x1，x2，…，xn）　　（2-14）

在這種情況下，數據處理程序如下。

（1）用直接測量的數據處理方法分別計算出和ui。即由式（2-5）計算出，由式（2-11）計算出ui。

（2）計算出y的最佳估計值。

（3）計算出y的合成標準不確定度uc（y）及擴展不確定度U。

（4）寫出結果表達式。

一、間接測量的最佳值

首先用直接測量的數據處理方法計算出和ui，然后將各代入式（2-14）中，得到

作為間接測得量y的最佳估計值。由于具有不確定度，所以由上式得到的y-也必然具有不確定度。或者說，由于具有分散性，所以也具有分散性，表征這一分散性的參量就是合成標準不確定度，以uc（y）表征。

二、合成標準不確定度的評定

y-的不確定度來源于所有的不確定度，也就是的標準不確定度是由各直接測得量x1，x2，…，xn的標準不確定度u1，u2，…，un適當合成而求得。當全部直接測得量xi彼此獨立時，y-的合成標準不確定度由下式給出

式（2-16）稱為不確定度傳播律。式中就是函數y=f（x1，x2，…，xn）在時的偏導數，這些偏導數稱為靈敏系數，記為ci，即，它表示被測量估計值隨直接測得值變化而變化的程度。即當有微小變化Δxi時，值相應變化為（Δy）i=，如果這個變化Δxi來自的不確定度ui，則的相應變化就是

是的一個分量，它表示第i個直接測得值的不確定度ui對的不確定度所做的貢獻。

的擴展不確定度為合成標準不確定度乘以包含因子k，若取k=2，則有

如果函數f的表現形式為

兩邊取自然對數

lny=lnc+p1lnx1+p2lnx2+…+pnlnxn

按不確定度傳播律，有

如果指數pi只是+1或-1，則上式成為

式（2-19）說明，當y是xi的乘除運算結果時，則的相對不確定度是各的相對不確定度的方和根。例如一長方體的體積V=lbh，則V的相對合成標準不確定度為

三、間接測量的結果表達式

由式（2-15）得到，由式（2-17）得到，則測量結果表達式為

還可以寫成

下面對式（2-20）做幾點說明。

（1）式（2-20）表明被測量值以較大概率處在（，）區間之內。當k=2，這個概率可望達到95％以上。

（2）擴展不確定度U只取1位有效數字，當U的首位數是1或2時可取兩位有效數字，的末位與U所在數位對齊。相對擴展不確定度取2位有效數字。在U的合成運算中，其不確定度分量或標準不確定度至少應多保留1位數，以避免由于數字修約導致新的不確定度。當然，用計算器進行運算時，則不會出現這樣的問題。

四、間接測量的數據處理舉例

【例2-4】被測量y=x1+x2，已知x1=（400±4）mm，x2=（32.1±0.3）mm，求和并寫出測量結果表達式。

解　

因為0.3?4，可視為微小量而忽略。

結果表達式為　　　　　　　　y=（432±4）mm

【例2-5】被測量，已知x1=（200±4）m，x2=（25±3）m，x3=（10±1）m，

求（1）；（2）；（3）寫出結果表達式。

解（1）

（2）這是一個連乘連除的函數，它的相對不確定度等于各參量的相對不確定度的方和根

因為，可視為微小量而忽略，所以

一般情況下，可取1～2位有效數字，的末位與所在位對齊，由，則

可見，在十位上，的有效數字的末位也應取到十位上。即

（3）結果表達式為

或　　

【例2-6】　在20℃條件下，用一級千分尺測量某金屬圓柱體的體積，測量數據如下

di/cm：1.0071，1.0073，1.0069，1.0078，1.0070，1.0074

hi/cm：2.0105，2.0110，2.0108，2.0112，2.0104，2.0100

體積計算公式為，試寫出測量結果表達式。

解　將di輸入計算器，經統計運算得到，S（di）=0.00033cm

將hi輸入計算器，經運算得到，S（hi）=0.00044cm

由測量重復性導致的不確定度分量

由千分尺準確性導致的不確定度分量，可根據千分尺的最大允許誤差求出，按GB1216—75規定，量程為25mm的一級千分尺，其最大允許誤差Δ儀=0.004mm，其標準不確定度為

直徑的標準不確定度為

高的標準不確定度為

體積的最佳估計值為

π取到小數點后第5位，避免了因π的取位過少而產生新的不確定度。的相對合成標準不確定度為

的相對擴展不確定度為

結果表達式為

V=1.6021（1±0.11％）cm3，k=2

上式中取到小數點后第4位數，因為擴展不確定度的末位就在小數點后第4位上。即

結果表達式還可以寫成

V=（1.6021±0.0017）cm3，k=2