第六節　雙變量測量的數據處理

直接測量和間接測量的待求量只有一個，而在實際工作中還經常需要在一組測量中同時求出多個變量，叫多變量測量，也稱組合測量。當待求量有兩個時叫雙變量測量，例如電阻R是溫度t的函數，當它們滿足線性關系時，有R=R0+αt，若能求出R0和α，則兩個變量R，t之間的函數關系便確定了。一般地說，若兩個變量x，y滿足線性關系，為了求出它們的函數關系式y=a+bx，只要求出a和b即可。通常做法是在xi的一系列不同取值下，測得一系列yi值

再根據這n對數據，按一定的數據處理程序得到兩個待求量a和b。這個問題實際上是一元線性方程的回歸問題。a稱為回歸常數，b稱為回歸系數，最常用的數據處理方法有作圖法、逐差法和最小二乘法。

一、作圖法

1.作圖法的特點

作圖法具有簡單、直觀的優點，能方便地顯示出函數的極值、拐點、突變或周期等特征；連線的過程有取平均的效果（有時還有助于發現測量錯誤或問題）；作圖法具有內插和外延的功能，可以得到某些實驗無法測量的數據。作圖法的缺點是受圖紙大小的限制，一般只有3～4位有效數字，且連線有相當大的主觀性。作圖法求值比較粗糙，一般不再處理誤差或不確定度。

曲線改直。按相關物理量畫出的曲線雖然直觀，但要判斷具體函數關系卻比較困難。如果通過適當的變換將曲線形式改成直線，再用作圖來分析就方便得多，而且也易于求得有關參數。

2.作圖法要點

作圖法的要點是，將測量數據在坐標紙上逐一描點，根據觀測點的分布趨勢連成一條光滑的曲線。對于一元線性函數來說，該圖線是一條直線。如圖2-5所示，它是某電阻的溫度特性圖線，求a，b值的所有計算數據都取在圖線上，圖線是求解的基礎，實驗者應注意減少作圖誤差。首先，這條直線應通過觀測值的中值點（，）；其次，大部分觀測點應該在直線上，其他觀測點均勻分布在該直線的兩側。中值點的坐標是，。畫好圖之后，在圖線上靠近兩端取兩個坐標點M1（x1，y1），M2（x2，y2），可算出回歸系數

若橫軸起點為零，則直線與縱軸交點y0即是回歸常數

a=y0

若橫軸起點不為零，可用下式計算

3.作圖的步驟

（1）根據作圖的要求，選擇坐標紙的尺寸，測量數據的有效數字位數越多，坐標紙的尺寸也應相應增大，實驗室推薦尺寸為7.5×10cm2（根據需要也可適當增大或減小）。在坐標紙上畫坐標軸，注明單位，標出分度值，坐標軸上的分度值應均勻標定，且以2，5，10等的整倍數為好，分度值的起點不一定是零。

（2）根據觀測數據計算出，。

（3）根據觀測數據，在坐標紙上逐一描點，數據點的符號為+、×、等，任選其一。

（4）根據數據點的分布趨勢，連結成一條直線。不要畫成折線。

（5）在圖線上選擇“取用點”，根據這兩個取用點給出的數據進行回歸計算。取用點的橫坐標應取成整數，二者距離應盡可能大一些，取用點的符號應與觀測點的符號有所區別。

（6）在圖紙的適當部位寫上圖注。內容包括圖名、作者、實驗日期等，最后將圖紙粘貼在實驗報告紙的適當部位上。

二、逐差法

在一些特定條件下可以用簡單的代數運算來處理一元線性回歸問題。逐差法就是其中之一，它比作圖法精確，與最小二乘法結果接近，在物理實驗中經常使用。一般說來，在n對數據（xi，yi）中任取兩對數據都能利用公式求出b值。

1.逐差法選用數據的原則

（1）所有的數據都要用上；

（2）任一數據都不要重復使用。

逐差法規定，把n對數據分成兩組，用第二組的一對數據做被減數，用第一組相應的一對數據做減數。例如共10對數據，就將第1～5對數據分為第一組，將第6～10對數據分為第2組，然后第6對與第1對相減，第7對與第2對相減……就是，b2=……逐5相減直到，共得到5個bi（i=1，2，3，4，5），最佳值是它們的平均值

的標準不確定度通常可由相應的標準偏差來估計

注意n=k/2是測量次數的一半。如果k為奇數，將首（或尾）測量數據舍棄，然后同上處理。

2.關于逐差法幾點說明

（1）逐差法的優點是能充分利用數據，計算也比較簡單，且計算時有一定平均效果，還可以繞過一些具有確定值的未知量。

（2）逐差法要求自變量等間隔變化測量，且自變量誤差可略去的情況，這時不僅計算比較簡單，而且因變量可視作等精度測量。

（3）在用逐差法計算線性函數的系數時，必須把數據分為兩半，并對前后兩半的對應項進行逐差，不應采用逐項逐差的辦法處理數據。后者不能均勻地使用數據，將只計及首尾項的貢獻（中間各項互相抵消）使多組測量失去意義。

（4）用逐差法只能處理線性函數或多項式形式的函數。后者需用多次逐差，因為使用很少，精度也低，這里不作介紹。

三、最小二乘法

從含有誤差的數據中尋求經驗方程或提取參數是實驗數據處理的重要內容，也稱回歸問題。事實上，用作圖法獲得直線的斜率和截距就是一種平均處理的方法，但這種方法有相當大的主觀成分，結果往往因人而異。根據最小二乘法原理進行回歸運算的方法稱為最小二乘法。用這種方法不僅能準確求出a和b，而且能估算出它們的不確定度，還能檢驗出這兩個變量之間線性關系的符合程度。由于不少袖珍計算器已具備了回歸運算的功能，近年來最小二乘法得到了迅速的普及。

1.最小二乘法原理

最小二乘法原理可表述為：一個測量列的最佳值，應使它與測量列中所有測量值的殘差的平方和為最小。即測量列x1，x2，…，xn的最佳值如果是A，則第i個測量值xi的殘差是vi=xi-A，殘差的平方和為最小，可以寫成

∑（xi-A）2=min

若A滿足上式，則A必是測量列的最佳估計值，即。實際上由上式若對A求偏導就可以得到，間接驗證了最小二乘法原理的正確性。

2.回歸運算

若n對數據x1，x2，…，xn；y1，y2，…，yn滿足線性關系，且沒有測量誤差，則可寫成

然而沒有測量誤差的假設不能成立，但可以假設xi數列的誤差遠小于yi數列的誤差，因而xi數列的誤差可以忽略，而yi數列的誤差為vi，則以上方程組應改寫成

稱為誤差方程組。根據最小二乘原理，若a，b是最佳值，則有

寫成　　∑（yi-a-bxi）2=min　　（2-21）

a滿足式（2-21）的條件是

b滿足式（2-21）的條件是

對以上兩式分別求偏導，整理后得到

將，，，代入上式得

解上述聯立方程，得

還應指出的是，求常數項a，一次項系數b的出發點是假設x，y兩個變量線性相關，但有時并沒有太大的把握判斷它們一定線性相關。在這種情況下，還要根據相關系數的大小來判斷是否滿足線性關系。可以證明，當r接近1時，x與y兩個變量線性相關，當r接近0時，兩個變量彼此獨立。在用最小二乘法進行回歸運算時，應借助帶有回歸運算功能的袖珍計算器，只要把相關測量數據xi和yi輸入計算器，顯示屏上能立即顯示出a，b和r的量值。

四、雙變量測量的數據處理舉例

【例2-7】用牛頓環裝置測平凸透鏡的曲率半徑的公式是

式中，λ=589.3nm，是鈉光波長；k是干涉圓環級次；Dk是第k級干涉圓環的直徑。測得的數據如下表：

試用逐差法求透鏡的曲率半徑R。

解　因為與k滿足線性關系，所以對k的變化率，為了用逐差法求b，首先列出的數據表：

將k=6.0～10.0分為第一小組，k=11.0～15.0分為第二小組，逐5相減，則

最佳值　　

由　　b=4λR

得　　

【例2-8】　對x，y進行雙變量測量，得8對數據如下

x：1.00，3.00，8.00，10.00，13.00，15.00，17.00，20.00，

y：3.0，4.0，6.0，7.0，8.0，9.0，10.0，11.0

試用最小二乘法求出線性方程。

解法一　手頭沒有帶回歸運算功能的計數器，可以用這個方法。

首先使用計算器進行統計運算，得到

相關系數 　　

因為r→1，可以判定x與y線性相關。

回歸系數 　　

回歸常數 　　

回歸方程　　y=2.61+0.426x

解法二　　用帶有回歸運算功能的計算器進行回歸計算，將xi，yi按一定程序分別輸入計算器后，計算器能夠將r，a，b的量值直接顯示出來（見附錄1）。