第三節　測量誤差及分析

測量結果減去被測量的真值稱為測量誤差。

對于單次測量，測量值就是測量結果，對于重復性測量，算術平均值就是測量結果。若以表示測量結果，以x0表示真值，則測量誤差為

誤差與不確定度是兩個完全不同的概念，不應混淆和誤用。在數軸上，誤差是一個點，可正可負，不確定度是一個區間，不能帶負號。誤差大小不以人的認識程度而改變，但無法準確得到。不確定度的大小與人的認識程度有關，可以通過適當的評定和計算得到。不同的測量結果，其誤差必定不同，但不確定度可以相同。同理，測量結果相同，其測量誤差必定相同，但測量不確定度可以不相同。測量誤差按其產生的原因和性質可分為隨機誤差和系統誤差。

一、隨機誤差

由隨機效應導致的誤差稱為隨機誤差。對同一物理量進行重復性測量得到n個測量值，這些測量值的誤差時大時小，時正時負而不可預知。這些不可預知的變化稱為隨機效應。正是隨機效應導致了重復測量中的分散性。隨機誤差的量值等于測量結果減去總體均值。若以表示測量結果，μ表示測量列的總體均值，則隨機誤差可表示為

上式中μ值不能準確得到，故隨機誤差的量值也不能準確得到。

當測量次數充分多時，各測得值的隨機誤差分布服從統計規律，隨機誤差的主要特性可歸納為有界性和對稱性。

有界性是指測量隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限，即不會出現絕對值過大的誤差。對稱性是指絕對值相等而符號相反的隨機誤差出現的次數大致相等，即測量值是以它們的算術平均值為中心而對稱分布的，這樣，所有誤差的代數和趨近于零，所以隨機誤差又具有抵償性。

當誤差分布呈現正態分布、矩形分布和三角分布時，隨機誤差還具有單峰性，如圖2-4所示。

二、系統誤差

由系統效應導致的誤差稱為系統誤差。這里所說的系統效應主要來源于：測量方法不理想，對環境條件的測量和控制不完善，測量儀器性能的不完善等。在物理實驗教學中，由測量儀器性能不完善而引起的誤差常常成為我們重點分析的誤差來源。

系統誤差的量值等于總體均值減去被測量的真值。若以μ表示總體均值，x0表示真值，則系統誤差為

δ=μ-x0　　（2-3）

由于μ與x0都是理想的概念，故系統誤差也是無法準確得到的。

由式（2-1）～式（2-3）可得

Δx=ε+δ　　（2-4）

式（2-4）告訴我們，測量誤差等于隨機誤差與系統誤差的代數和。由于隨機誤差和系統誤差都是無法準確得到的，所以用式（2-4）不能將誤差計算出來。但它清楚地說明了這樣一個事實：測量誤差是由隨機效應和系統效應共同影響的結果。所以在分析不確定度來源時，即要考慮隨機效應引起的不確定度，又要考慮由系統效應引起的不確定度。

在做實驗結果誤差分析時，應重點考慮系統誤差。系統誤差按其產生的原因可分為儀器誤差（由于儀器本身欠缺或安裝調整不當而造成的）、理論誤差（由于實驗原理不夠完善或測量所依據的理論的近似性所造成的）和環境誤差（由于外界環境偏離標準條件造成的）；按其掌握程度可分為已定系統誤差和未定系統誤差；按其處理方法可分為可修正系統誤差、可消除系統誤差和可估算系統誤差，見表2-1。系統誤差的一部分被修正，一部分被消除，余下的部分可以用非統計學方法進行估算。可估算的系統誤差分量與隨機誤差分量按一定的方法合成測量不確定度。