第二節　有效數字及其運算規則

一、有效數字的概念

正確而有效地表示測量和實驗結果的數字，稱為有效數字。它由可靠的若干位數字加上可疑的一位數字構成。從表達上說從左端第一個非零數字到右端最后一位的所有數字均為有效數字。如測量值2.72cm和2.70cm，都是3位有效數字，2.7是可靠數字，尾數“2”和“0”是可疑數字（估讀的），但它們在一定程度上反映了客觀實際，因此也是有效的。

應當指出，測量結果第一位（最高位）非零數字前的“0”不屬于有效數字，而非零數字后的“0”都是有效數字。前者只反映了測量單位的換算關系，與有效數字無關。例如，0.0125m是3位有效數字，不應理解為5位有效數字，它與1.25cm實際上是一回事。而非零數字后的“0”則反映了測量的大小和精度，如1.09cm是3位有效數字，而1.0900cm是5位有效數字；1.09cm說明不確定度范圍是0.01～0.09cm，而1.0900cm的不確定度范圍只有0.0001～0.0009cm，它的測量精度要高得多。

需要牢記的是有效數字末位數字恒是可疑數字（不確定度所在位）。學生易錯的是漏掉可疑位的“0”。如測量值2.70cm是3位有效數字，可疑位是“0”。如果因為可疑位數字是“0”而漏寫（不寫），寫成2.7cm，則本來是可靠位數字的“7”被認為成可疑數字，變成了2位有效數字，嚴重降低了測量水平，是錯誤的。

二、有效數字的讀取

在物理實驗教學中，經常會遇到讀數取幾位數和運算結果取幾位數的問題，其實只要掌握有效數字末位數字恒是可疑數字這一法則，問題就迎刃而解了。下面就測量值有效數字讀取一般規律作簡要介紹。

1.十分度標尺

測量儀器的讀數裝置帶有十分度標尺（最小分度值為1個單位）時，讀數為可靠位（最小分度值整數倍）加上估讀位（可疑位），若讀數恰為整數，則估讀位記為0。例如圖2-1所示，該直尺的分度值是1mm，讀成84.6mm，末位數6是可疑的，如果有人估讀為7，讀成84.7mm也是合理的。

2.游標卡尺

做物理實驗經常用到帶有游標卡尺的儀器，如游標卡尺、分光計及電位差計等。此時直接按游標原理正確讀數即可。這里需要說明的是游標卡尺讀數末位不是估讀的，但它仍然是可疑的，因為所謂“兩刻線對齊”是相對的（用放大鏡看一下也許發現并不嚴格對齊）。因此與有效數字末位是可疑位并不矛盾。如圖2-2所示讀數為21.44mm，0.04是可疑位，如讀成0.02或0.06都是錯誤的，可見精度比直尺提高了很多。

3.十步進式標度盤

電磁學實驗經常用到電阻箱、電容箱、電橋及電位差計等，標度盤上排列多個十步進旋鈕，一般將各旋鈕示值加起來即為標度盤讀數，例如圖2-3所示的電阻箱，讀做1032.0Ω。但有時讀數有效數字由實驗時靈敏度決定。例如在“靈敏電流計研究”實驗中，測臨界電阻時，調節電阻箱“×1Ω”旋鈕，儀器才剛有反應，則讀數有效數字只能記到“×1Ω”，讀數為1032Ω。盡管還有最小步進“×0.1Ω”旋鈕，其示值是無效的。

4.其他

數顯儀表一般直接讀取儀表示值，末位仍是可疑的。

非十分度標尺讀數要根據具體情況讀取有效數字。例如，用量程為150mA，75格分度的電流表測電流，最小分度為2mA，讀數誤差按0.2格即0.4mA估計，因此可以取至小數點后1位。如果分度值是5只能讀到分度位。

三、有效數字的運算法則

在有效數字的運算過程中，為了不因運算而損失有效數字，影響測量結果的精確度，并盡可能的簡化運算過程，歸納以下有效數字運算規則，這些規則簡單易記，其合理性是可以證明的。

（1）加減法運算　主要看參與運算各量有效數字的末位，運算結果的末位應與其中末位最高的相同。

例如，N=A+B+C-D，合成擴展不確定度，UN一定大于4個不確定度分量中最大者，因之N的末位應與4個分量中有效數字末位最高者相同。如A=5472.3，B=0.7536，C=1214，D=7.26，則有效數字最后一位位數最高者是C。因此，N的有效數字取至個位數與C相同，即

N=5472.3+0.7536+1214-7.26=6679.7936=6680

根據有效數字末位恒是可疑位，我們將可疑位以下劃線標記，最后結果只保留一位可疑位，其結果N的末位亦應與C相同。

（2）乘除法運算　運算結果有效數字應與參與運算各量中有效數字最少的相同。

例如，合成相對不確定度，不難想見，一定大于A，B，C，D中相對不確定度的最大者，相對不確定度最大者一定是有效數字位數最少者。因此，N的有效數字應與A，B，C，D中有效數字位數最少的位數相同。如A=80.5，B=0.0014，C=3.08326，D=764.9，則

補充規定：如最后結果的第一位數是1、2，則在上述原則的基礎上，可多保留一位。

（3）混合四則運算　應按前述原則按部就班進行運算，并獲得最后結果。

（4）其他運算

①對數運算。對數的有效數字其小數點后的位數與真數的位數相同。

例如y=lnx，式中x=888，經計算器運算得ln888=6.788971，結果為ln888=6.789。

②指數運算結果有效數字與指數相同。如y=ex，x=9.14計算器給出y=9320.7651。再取3位有效數字，則y=9.32×103。

③乘方開方等有效數字位數不變。

④三角函數運算。對y=sinx，若x的末位是度，則y取2位數，若x的末位為分，則y取4位數。例如

sin30°=0.50

sin30°0'=0.5000

⑤對于公式中的常數（π、e等）的有效數字位數可以認為無限制的，在計算中其有效數字位數取比參與運算的各數中有效數字位數最多的多一位。

以上闡述的有效數字的運算和取位規則，其合理性是不難證明的。只需用不確定度的傳播律，根據參與運算各分量的不確定的量值，就能比較容易地估算出y的不確定的數量級。進而確定y的末位是在哪一位。

對于各種函數運算，如指數運算、對數運算、三角函數運算、乘方運算、根式運算等，不必死記上述規則。如果手頭有一臺計算器，只要在x的末位+1（或-1），比較兩個運算結果最先出現差異的那一位，便應是y的末位。其實y的這個差異是由x的差異導致的。例如ln888=6.788971，ln887=6.787845，由于x末位的差異，使得y在小數點后第3位產生差異，所以應取為y=6.789；又如sin30°=0.5000，sin31°=0.5150所以sin30°=0.50。

四、有效數字的標準表示形式

為便于處理過大和過小的數據，常把有效數字寫成小數點前是一位非零整數，而后乘以10的方冪形式，稱為有效數字的科學表示法。例如，中國人口11億8千萬，只有3位有效數字，不應寫成1180000000，而應寫成1.18×109或11.8億。再如（0.000635±0.000007）m，書寫起來也很不方便，應寫成（6.35±0.07）×10-4m。