4.2 噪聲

雷達導引頭的基本任務是從噪聲背景中檢測目標并提取目標信息，噪聲分析是雷達導引頭系統設計的重要內容。本節介紹隨機過程的統計特性、噪聲的數值表征和窄帶噪聲。

4.2.1 隨機過程的統計特性

隨機過程是一個隨機起伏的時間函數。對同一隨機事件做N次測量和記錄，可得到N個隨機函數序列，如圖4-14所示，稱這一組序列為隨機函數的總集，記為

對于特定時刻t1,t2, ???,tM，則可得M個數值序列：

顯然，X1,X2, ???,XM都是隨機變量。

圖4-14x（t）的N個隨機函數序列

對于隨機變量X1，其概率為

式中：p（x1,t1）為一維概率密度。

對于兩個隨機變量X1和X2，其聯合概率為

式中：p（x1,t1;x2,t2）為二維概率密度。

對于M 個隨機變量X1,X2, ???,XM，其聯合概率為

式中：p（x1,t1;x2,t2; ???;xM,tM）為M維概率密度。

如果下式成立

則M 個隨機變量是統計獨立的，或稱不相關，否則就不獨立或相關。

如果一個隨機過程{x（t）}時間平移τ后的統計特性不變，即

則稱該隨機過程為平穩隨機過程。平穩隨機過程的一維概率密度與時間無關，即

在給定平穩隨機過程的一維概率密度p（x）情況下，可以確定相應的統計平均值。

1．x的數學期望

平穩隨機過程的數學期望表示平均值，其計算式為

式中：E＜x＞ 表示對集合取統計平均，有時也記為 ＜x＞。

2．x的均方值

平穩隨機過程的均方值表示平均功率，其計算式為

Px的平方根稱為均方根值。

3．x的方差

平穩隨機過程的方差表示交流功率，其計算式為

顯然， =Px?m2。

4．x的k階原點矩

平穩隨機過程的k階原點矩為

當k為1和2時，分別為數學期望和均方值。

5．x的k階中心矩

平穩隨機過程的k階中心矩為

當k為2時，即為方差。

平穩隨機過程具有遍歷性，即隨機過程的某一樣本函數的時間平均值等于它在某一時刻的變量的統計平均值，如

式中的上劃線表示求劃線下變量的時間平均值。

平穩隨機過程是功率型隨機過程，其自相關函數Rx（τ）與功率譜密度px（f）成傅里葉變換對：

4.2.2 噪聲的數值表征

噪聲的數值特征可以用噪聲功率譜密度、等效噪聲帶寬、噪聲系數和噪聲溫度表示。

1．噪聲功率譜密度

噪聲n（t）也是隨機過程。接收信道中的噪聲是一種具有平穩性和遍歷性的隨機過程，這種噪聲具有正態概率分布，其均值為零，且功率譜密度在無限寬的頻帶內為非零常量，習慣上稱為白噪聲。白噪聲功率譜密度表示為

式（4-100）是雙邊功率譜密度，在正負頻率上均有分布。這種定義便于與傅里葉變換兼容。實際噪聲只在正頻率上分布，故單邊功率譜密度為

應該注意，雙邊功率譜密度與單邊功率譜密度都用pn（f）表示，但兩者相差系數1/2。

白噪聲的相關函數為

白噪聲的功率譜如圖4-15（a）所示。白噪聲波形是寬度無限窄、起伏極快的隨機脈沖串。僅當τ=0時，白噪聲才有相關性。然而，白噪聲畢竟是一種理想化了的模型，實際噪聲脈沖具有一定的寬度，噪聲功率譜只是在有限頻帶內近似為常數，故當τ很小時，仍有相關性，其相關函數如圖4-15（b）所示。工程中，只要噪聲功率的有限譜寬比信道通帶寬得多，且在帶內功率譜比較均勻，就可以作為白噪聲處理。

下面以熱噪聲為例，說明噪聲功率譜密度的計算方法。熱噪聲是導體中的自由電子在熱激勵作用下的不規則運動導致電流的瞬間起伏現象。自由電子引起電流起伏的雙邊功率譜密度為

式中：k為玻耳茲曼常數；T為環境溫度；G為導體電導，G=1/R，其中R為導體電阻值；αe為一個電子平均每秒鐘的碰撞次數，約為1014量級。

在（2πf /αe）≤0.1范圍內，可認為pni（f）是常數，相應的頻率范圍為（0～1013）Hz。因此，熱噪聲功率譜密度可表示為

實際電導可表示為無噪聲電導G和功率譜密度為2kTG的噪聲電流源in（t）的并聯。利用戴維寧（Thevenin）定理，可將無噪聲電導與噪聲電流源的并聯形式等效為無噪聲電阻R與噪聲電壓源un（t）的串聯形式，噪聲電壓源的功率譜密度為

若用單邊功率譜密度表示，則有

2．等效噪聲帶寬

如圖4-16所示，白噪聲通過具有頻率選擇性的線性電路后，輸出噪聲不再是白噪聲了。圖中：pn,i（f）為輸入噪聲功率譜密度；pn,o（f）為輸出噪聲功率譜密度；｜H（f）｜2為線性電路的功率傳輸系數。

顯然

等效噪聲通帶是以噪聲功率相等來定義的。等效的方法是使帶寬為Bn的矩形噪聲功率譜的面積與實際噪聲功率密度譜的面積相等，即

故有

噪聲通帶由電路參數決定。在多普勒雷達導引頭中，接收信道的通帶由具有良好矩形系數的窄帶晶體濾波器決定，以晶體濾波器的帶寬Bg作為通道的等效噪聲帶寬Bn是合理的，即

3．噪聲系數

噪聲系數表征系統在內部噪聲的影響下，系統輸出端的信噪比相對于輸入端信噪比的惡化倍數，即

式中：Ps,i為系統輸入信號功率；Pn,i為系統輸入噪聲功率；Ps,o為系統輸出信號功率；Pn,o為系統輸出噪聲功率。

噪聲系數是無量綱值，也可用分貝表示，即Fn,dB=10 lgFn。

式（4-112）也可寫為

式中：KP為功率增益。

由于Pn,o等于外部噪聲放大后輸出功率和內部噪聲輸出功率之和，故噪聲系數可解釋為

顯然，噪聲系數是衡量系統內部噪聲影響的參數，與信號無關。無噪聲的理想網絡，可得Fn=1。對于實際網絡，則Fn＞1。

噪聲系數適用于線性電路，不適用于非線性電路。對于混頻器，噪聲系數是適用的，這是因為混頻器對輸入噪聲具有頻移作用，而且本振噪聲可折合到混頻器自身的噪聲系數中，故可將混頻器視為準線性器件。

下面介紹級聯網絡噪聲系數的計算方法。設n級網絡的級間均處于匹配狀態，且各級噪聲系數分別為Fn,1,Fn,2, ???,Fn,n，各級的功率增益分別為KP,1,KP,2, ???,KP,n，其計算圖如圖4-17所示。

可以導出總噪聲系數為

式中：Bn為噪聲帶寬，后續下標表示相應的級數，如Bn,2表示第二級的等效噪聲帶寬，Bn,12表示第一、二級的等效噪聲帶寬，以此類推。

4．噪聲溫度

噪聲系數也可用噪聲溫度來表示。噪聲系數可在網絡輸入端計算，即

式中：Po, isn為內部噪聲的輸出功率；Po, osn為外部噪聲的輸出功率；Pi, isn為內部噪聲等效到輸入端的噪聲功率；Pi, osn為輸入端的外部噪聲功率。其中下標“isn”和“osn”分別表示內部噪聲（inside noise）和外部噪聲（outside noise）。

為了更清楚地表征內部噪聲和外部噪聲的數量關系，一般在輸入端的匹配電阻上加以描述。輸入匹配意味著網絡輸入電阻Ri與外部噪聲源內阻Rs相等，即Ri=Rs=R，此時輸入到信道的噪聲功率為最大，其值為

考慮到噪聲電壓的均方值，故有

代入式（4-115）得

即

其中Tn為噪聲溫度，即

可見，網絡內部噪聲可以等效為理想無噪聲網絡輸入端的一個溫度為Tn的匹配電阻產生的噪聲。噪聲系數可用噪聲溫度表達：

4.2.3 窄帶噪聲

雷達導引頭接收信道往往是一個窄帶系統，輸出的高頻限帶噪聲可以看做高頻窄帶線性系統對具有單位功率譜的白噪聲的響應，其功率譜密度為

式中：H0（f）為系統等效低通頻率特性。

高頻限帶噪聲的自相關函數為

式中：R0（t）為等效低頻限帶噪聲的自相關函數。

高頻限帶噪聲還可以表示為

式中：ρn（t）和φn（t）分別為噪聲的振幅和相位分量；nI（t）和nQ（t）分別為噪聲的同相分量和正交分量。且有

如果n（t）是均值為零、方差為σ2的正態噪聲，則nI（t）和nQ（t）也是均值為零、方差為σ2的正態噪聲，它們的概率密度分別為

ρn（t）的概率密度為瑞利分布，表達式為

ρn（t）的概率密度分布如圖4-18（a）所示，在ρn =σ處有峰值。φn（t）的概率密度呈均勻分布，即

φn（t）的概率密度分布如圖4-18（b）所示。

窄帶噪聲具有葫蘆串狀的時域波形，其載波頻率與窄帶噪聲譜的中心頻率一致，包絡呈隨機起伏。可以證明[28]，對于寬度為Bn的窄帶矩形噪聲譜，其時域波形在包絡平均值處的平均寬度為

這就是通常所說的“噪聲包絡的平均寬度為1/Bn”的由來。