4.2 噪聲

雷達(dá)導(dǎo)引頭的基本任務(wù)是從噪聲背景中檢測(cè)目標(biāo)并提取目標(biāo)信息，噪聲分析是雷達(dá)導(dǎo)引頭系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。本節(jié)介紹隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性、噪聲的數(shù)值表征和窄帶噪聲。

4.2.1 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性

隨機(jī)過程是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)。對(duì)同一隨機(jī)事件做N次測(cè)量和記錄，可得到N個(gè)隨機(jī)函數(shù)序列，如圖4-14所示，稱這一組序列為隨機(jī)函數(shù)的總集，記為

對(duì)于特定時(shí)刻t1,t2, ???,tM，則可得M個(gè)數(shù)值序列：

顯然，X1,X2, ???,XM都是隨機(jī)變量。

圖4-14x（t）的N個(gè)隨機(jī)函數(shù)序列

對(duì)于隨機(jī)變量X1，其概率為

式中：p（x1,t1）為一維概率密度。

對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量X1和X2，其聯(lián)合概率為

式中：p（x1,t1;x2,t2）為二維概率密度。

對(duì)于M 個(gè)隨機(jī)變量X1,X2, ???,XM，其聯(lián)合概率為

式中：p（x1,t1;x2,t2; ???;xM,tM）為M維概率密度。

如果下式成立

則M 個(gè)隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，或稱不相關(guān)，否則就不獨(dú)立或相關(guān)。

如果一個(gè)隨機(jī)過程{x（t）}時(shí)間平移τ后的統(tǒng)計(jì)特性不變，即

則稱該隨機(jī)過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)，即

在給定平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度p（x）情況下，可以確定相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均值。

1．x的數(shù)學(xué)期望

平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望表示平均值，其計(jì)算式為

式中：E＜x＞ 表示對(duì)集合取統(tǒng)計(jì)平均，有時(shí)也記為 ＜x＞。

2．x的均方值

平穩(wěn)隨機(jī)過程的均方值表示平均功率，其計(jì)算式為

Px的平方根稱為均方根值。

3．x的方差

平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差表示交流功率，其計(jì)算式為

顯然， =Px?m2。

4．x的k階原點(diǎn)矩

平穩(wěn)隨機(jī)過程的k階原點(diǎn)矩為

當(dāng)k為1和2時(shí)，分別為數(shù)學(xué)期望和均方值。

5．x的k階中心矩

平穩(wěn)隨機(jī)過程的k階中心矩為

當(dāng)k為2時(shí)，即為方差。

平穩(wěn)隨機(jī)過程具有遍歷性，即隨機(jī)過程的某一樣本函數(shù)的時(shí)間平均值等于它在某一時(shí)刻的變量的統(tǒng)計(jì)平均值，如

式中的上劃線表示求劃線下變量的時(shí)間平均值。

平穩(wěn)隨機(jī)過程是功率型隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)Rx（τ）與功率譜密度px（f）成傅里葉變換對(duì)：

4.2.2 噪聲的數(shù)值表征

噪聲的數(shù)值特征可以用噪聲功率譜密度、等效噪聲帶寬、噪聲系數(shù)和噪聲溫度表示。

1．噪聲功率譜密度

噪聲n（t）也是隨機(jī)過程。接收信道中的噪聲是一種具有平穩(wěn)性和遍歷性的隨機(jī)過程，這種噪聲具有正態(tài)概率分布，其均值為零，且功率譜密度在無限寬的頻帶內(nèi)為非零常量，習(xí)慣上稱為白噪聲。白噪聲功率譜密度表示為

式（4-100）是雙邊功率譜密度，在正負(fù)頻率上均有分布。這種定義便于與傅里葉變換兼容。實(shí)際噪聲只在正頻率上分布，故單邊功率譜密度為

應(yīng)該注意，雙邊功率譜密度與單邊功率譜密度都用pn（f）表示，但兩者相差系數(shù)1/2。

白噪聲的相關(guān)函數(shù)為

白噪聲的功率譜如圖4-15（a）所示。白噪聲波形是寬度無限窄、起伏極快的隨機(jī)脈沖串。僅當(dāng)τ=0時(shí)，白噪聲才有相關(guān)性。然而，白噪聲畢竟是一種理想化了的模型，實(shí)際噪聲脈沖具有一定的寬度，噪聲功率譜只是在有限頻帶內(nèi)近似為常數(shù)，故當(dāng)τ很小時(shí)，仍有相關(guān)性，其相關(guān)函數(shù)如圖4-15（b）所示。工程中，只要噪聲功率的有限譜寬比信道通帶寬得多，且在帶內(nèi)功率譜比較均勻，就可以作為白噪聲處理。

下面以熱噪聲為例，說明噪聲功率譜密度的計(jì)算方法。熱噪聲是導(dǎo)體中的自由電子在熱激勵(lì)作用下的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致電流的瞬間起伏現(xiàn)象。自由電子引起電流起伏的雙邊功率譜密度為

式中：k為玻耳茲曼常數(shù)；T為環(huán)境溫度；G為導(dǎo)體電導(dǎo)，G=1/R，其中R為導(dǎo)體電阻值；αe為一個(gè)電子平均每秒鐘的碰撞次數(shù)，約為1014量級(jí)。

在（2πf /αe）≤0.1范圍內(nèi)，可認(rèn)為pni（f）是常數(shù)，相應(yīng)的頻率范圍為（0～1013）Hz。因此，熱噪聲功率譜密度可表示為

實(shí)際電導(dǎo)可表示為無噪聲電導(dǎo)G和功率譜密度為2kTG的噪聲電流源in（t）的并聯(lián)。利用戴維寧（Thevenin）定理，可將無噪聲電導(dǎo)與噪聲電流源的并聯(lián)形式等效為無噪聲電阻R與噪聲電壓源un（t）的串聯(lián)形式，噪聲電壓源的功率譜密度為

若用單邊功率譜密度表示，則有

2．等效噪聲帶寬

如圖4-16所示，白噪聲通過具有頻率選擇性的線性電路后，輸出噪聲不再是白噪聲了。圖中：pn,i（f）為輸入噪聲功率譜密度；pn,o（f）為輸出噪聲功率譜密度；｜H（f）｜2為線性電路的功率傳輸系數(shù)。

顯然

等效噪聲通帶是以噪聲功率相等來定義的。等效的方法是使帶寬為Bn的矩形噪聲功率譜的面積與實(shí)際噪聲功率密度譜的面積相等，即

故有

噪聲通帶由電路參數(shù)決定。在多普勒雷達(dá)導(dǎo)引頭中，接收信道的通帶由具有良好矩形系數(shù)的窄帶晶體濾波器決定，以晶體濾波器的帶寬Bg作為通道的等效噪聲帶寬Bn是合理的，即

3．噪聲系數(shù)

噪聲系數(shù)表征系統(tǒng)在內(nèi)部噪聲的影響下，系統(tǒng)輸出端的信噪比相對(duì)于輸入端信噪比的惡化倍數(shù)，即

式中：Ps,i為系統(tǒng)輸入信號(hào)功率；Pn,i為系統(tǒng)輸入噪聲功率；Ps,o為系統(tǒng)輸出信號(hào)功率；Pn,o為系統(tǒng)輸出噪聲功率。

噪聲系數(shù)是無量綱值，也可用分貝表示，即Fn,dB=10 lgFn。

式（4-112）也可寫為

式中：KP為功率增益。

由于Pn,o等于外部噪聲放大后輸出功率和內(nèi)部噪聲輸出功率之和，故噪聲系數(shù)可解釋為

顯然，噪聲系數(shù)是衡量系統(tǒng)內(nèi)部噪聲影響的參數(shù)，與信號(hào)無關(guān)。無噪聲的理想網(wǎng)絡(luò)，可得Fn=1。對(duì)于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，則Fn＞1。

噪聲系數(shù)適用于線性電路，不適用于非線性電路。對(duì)于混頻器，噪聲系數(shù)是適用的，這是因?yàn)榛祛l器對(duì)輸入噪聲具有頻移作用，而且本振噪聲可折合到混頻器自身的噪聲系數(shù)中，故可將混頻器視為準(zhǔn)線性器件。

下面介紹級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)噪聲系數(shù)的計(jì)算方法。設(shè)n級(jí)網(wǎng)絡(luò)的級(jí)間均處于匹配狀態(tài)，且各級(jí)噪聲系數(shù)分別為Fn,1,Fn,2, ???,Fn,n，各級(jí)的功率增益分別為KP,1,KP,2, ???,KP,n，其計(jì)算圖如圖4-17所示。

可以導(dǎo)出總噪聲系數(shù)為

式中：Bn為噪聲帶寬，后續(xù)下標(biāo)表示相應(yīng)的級(jí)數(shù)，如Bn,2表示第二級(jí)的等效噪聲帶寬，Bn,12表示第一、二級(jí)的等效噪聲帶寬，以此類推。

4．噪聲溫度

噪聲系數(shù)也可用噪聲溫度來表示。噪聲系數(shù)可在網(wǎng)絡(luò)輸入端計(jì)算，即

式中：Po, isn為內(nèi)部噪聲的輸出功率；Po, osn為外部噪聲的輸出功率；Pi, isn為內(nèi)部噪聲等效到輸入端的噪聲功率；Pi, osn為輸入端的外部噪聲功率。其中下標(biāo)“isn”和“osn”分別表示內(nèi)部噪聲（inside noise）和外部噪聲（outside noise）。

為了更清楚地表征內(nèi)部噪聲和外部噪聲的數(shù)量關(guān)系，一般在輸入端的匹配電阻上加以描述。輸入匹配意味著網(wǎng)絡(luò)輸入電阻Ri與外部噪聲源內(nèi)阻Rs相等，即Ri=Rs=R，此時(shí)輸入到信道的噪聲功率為最大，其值為

考慮到噪聲電壓的均方值，故有

代入式（4-115）得

即

其中Tn為噪聲溫度，即

可見，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部噪聲可以等效為理想無噪聲網(wǎng)絡(luò)輸入端的一個(gè)溫度為Tn的匹配電阻產(chǎn)生的噪聲。噪聲系數(shù)可用噪聲溫度表達(dá)：

4.2.3 窄帶噪聲

雷達(dá)導(dǎo)引頭接收信道往往是一個(gè)窄帶系統(tǒng)，輸出的高頻限帶噪聲可以看做高頻窄帶線性系統(tǒng)對(duì)具有單位功率譜的白噪聲的響應(yīng)，其功率譜密度為

式中：H0（f）為系統(tǒng)等效低通頻率特性。

高頻限帶噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

式中：R0（t）為等效低頻限帶噪聲的自相關(guān)函數(shù)。

高頻限帶噪聲還可以表示為

式中：ρn（t）和φn（t）分別為噪聲的振幅和相位分量；nI（t）和nQ（t）分別為噪聲的同相分量和正交分量。且有

如果n（t）是均值為零、方差為σ2的正態(tài)噪聲，則nI（t）和nQ（t）也是均值為零、方差為σ2的正態(tài)噪聲，它們的概率密度分別為

ρn（t）的概率密度為瑞利分布，表達(dá)式為

ρn（t）的概率密度分布如圖4-18（a）所示，在ρn =σ處有峰值。φn（t）的概率密度呈均勻分布，即

φn（t）的概率密度分布如圖4-18（b）所示。

窄帶噪聲具有葫蘆串狀的時(shí)域波形，其載波頻率與窄帶噪聲譜的中心頻率一致，包絡(luò)呈隨機(jī)起伏。可以證明[28]，對(duì)于寬度為Bn的窄帶矩形噪聲譜，其時(shí)域波形在包絡(luò)平均值處的平均寬度為

這就是通常所說的“噪聲包絡(luò)的平均寬度為1/Bn”的由來。