第3章 點的運動學

點的運動學是運動學的基礎。本章將討論點的運動規律、軌跡、速度和加速度。

3.1 點的運動方程、速度與加速度

空間點M的位置可由一個選定的參考點O到該點M的矢徑r來確定，如圖3-1所示。當點M的位置隨時間變化時，其軌跡由矢量函數

的端點畫出。式（3-1）稱為點M的運動方程。

從時刻t到時刻t+Δt，點M在空間中的位移Δr=r（t+Δt）-r（t），如圖3-2所示。點M在時間間隔Δt內的平均速度為

點M在t時刻的速度為

其方向為點M在t時刻軌跡的切向，指向點的運動方向。

點M在t時刻的加速度為

其方向由Δv=v（t+Δt）-v（t）在Δt→0的極限方向確定，或沿速度矢端曲線v=v（t）在t時刻的切線方向。

3.2 不同坐標系中點的運動方程、速度與加速度

1.直角坐標系

在參考點O建立一直角坐標系，如圖3-3所示，則點M的位置矢r可表示為

點M的運動方程為

x=x（t），y=y（t），z=z（t）（3-6

點M的速度為

點M的加速度為

例3-1 設梯子的兩個端點A和B分別沿著墻和地面滑動，如圖3-4所示。梯子和地面的夾角φ（t）是時間的已知函數，試求梯子上點M的運動軌跡、速度和加速度。已知AM=a，BM=b。

解：建立直角坐標系Oxy，如圖3-4所示，則點M的坐標為

這就是點M的運動方程，也是其軌跡方程的參數形式。消去參數φ，得

這是以原點O為中心的四分之一橢圓。

rO M=a c o s φ i+b si n φ j

2.自然坐標系

設點M沿著一已知曲線運動。在曲線上任取一點O1為原點，并規定點O1一側所取的弧長為正，而另一側所取的弧長為負，則點M的每一個位置都與從原點O1到該位置的弧長s一一對應，如圖3-5所示。如果函數s=s（t）是時間的已知函數，則點M的運動就可以確定了，這種用弧坐標描述點的運動的方法稱為自然坐標法?；∽鴺诵问降狞cM運動方程為

自然坐標法適用于運動軌跡完全確定的非自由質點。

點M的速度為

令r s，則

因此，τ（s）是一個單位矢。顯然，其方向沿著點M切向，并且總是指向弧坐標s的正方向。

由式（3-12）得

點M的加速度

下面求。先討論的大小。如圖3-6所示，在t和t+Δt時刻，動點分別位于點M和M′，相應的切向單位矢分別為τ和τ′，它們之間的夾角為Δθ，=Δs，則

式中，ρ為曲線上點M處的曲率半徑。

再討論的方向。如圖3-6所示，當Δs→0時，M′→M，ΔMNQ所在平面趨于一個極限位置，這個極限位置平面稱為曲線在點M處的密切面。由于τ和Δτ始終在ΔMNQ所在的平面內，當Δs→0時，M′→M，Δθ→0，Δτ的方向趨于垂直于τ的方向，指向曲線在點M的凹側（曲率中心一側），因此的方向在點M的密切面內，沿著點M的法線指向曲線的凹側。沿此方向取一單位矢n（s），則τ（s）、n（s）和b（s）=τ（s）×n（s）構成點M處的右手正交坐標系，稱為自然坐標系。n（s）稱為主法線單位矢，b（s）稱為副法線單位矢。所以

由式（3-14）得

即點M的加速度由兩部分組成，第1部分是由于速度大小變化而產生的加速度，其方向沿曲線的切向，稱為切向加速度，記為at

第2部分是由于速度方向變化而產生的加速度，其方向沿曲線的主法線方向，稱為法向加速度，記為an，

加速度沿副法線方向的投影恒為零。

幾種常見的特殊運動如下。

（1）直線運動：ρ=∞。

（2）勻速曲線運動 。

（3）圓周運動，如圖3-7所示，其中的法向加速度也稱為向心加速度。

由于點M也可以通過角φ確定，s（t）=Rφ（t）

當點M做勻速圓周運動時

例3-2 如圖3-8所示，半徑為r的車輪在直線軌道上滾動而不滑動（稱為純滾動）。已知輪心A的速度u是常矢量，求輪緣上一點M的軌跡、速度、加速度和軌跡的曲率半徑。

解：如圖3-8所示，建立坐標系Oxy，并設t=0時點M位于坐標原點，在時刻t，有關系式，

點M的坐標為

這就是點M的軌跡參數方程，也是其運動方程，它所表示的曲線稱為旋輪線或擺線。

為了求軌跡的曲率半徑ρ，要先求出an，為此要求at和a。由于運動具有周期性，考慮0≤φ≤2π，即范圍的曲線。

當ut=πr（軌跡最高點）時，曲率半徑最大，ρm a x=4r，當ut=0或2πr（點M在軌道上）時，曲率半徑最小，ρmin=0，這意味著軌跡有尖點。

例3-3 如圖3-9所示，設細直桿AB繞定軸A以φ=ωt的規律做勻速轉動，ω為常值，一小環M同時套在桿和半徑為R的固定細圓環上，試求小環的速度和加速度。

解：以點O1為自然坐標原點。由點O1向上為弧坐標s的正向，則點M的運動方程為

點M的速度為

方向在點M處沿圓環的切向，斜向上。

點M的加速度為

方向由點M指向點O。

習題

3-1 試分析在什么情況下？什么情況下又相等？舉例說明。

3-2 如圖所示，動點M做曲線運動，虛線為切線，其中，動點做加速運動的有________；減速運動的有_________；不可能實現的運動有________。

3-3 若點的加速度為一常矢量，該點是否一定做勻變速直線運動？

3-4 當點做曲線運動時，若始終有v⊥a，是否必有v=常數？

3-5 圖示點M沿螺線自外向內運動，它走過的弧長與時間的一次方成正比。試問該點的加速是越來越大，還是越來越?。奎c越跑越快，還是越跑越慢？

3-6 圖示曲線規尺的桿長OA=AB=20 cm，CD=DE=AC=AE=5 cm。OA與x軸夾角φ按規律變化。試求點D的運動方程和軌跡方程。

3-7 桿A B長為l，角φ的變化規律為φ=ωt，其中ω為常數。滑塊B按規律s=a+b si nωt沿水平方向做簡諧運動，其中a、b均為常數。試求點A的軌跡。

3-8 半圓形凸輪以勻速v0=1cm/s沿水平方向向左運動。已知t=0時，桿的A端在凸輪最高點，凸輪半徑R=8cm。試求桿的端點A的運動方程和t=4s的速度和加速度。已知桿AB的A端在運動過程中一直與凸輪接觸。

3-9 搖桿機構的推桿AB以勻速u向上運動，OC=b。試分別用直角坐標法和自然坐標法建立端點C的運動方程和時該點的速度和加速度。設t=0時，φ=0。

3-10 搖桿滑道機構的銷釘M同時在半徑為R的圓弧槽和搖桿OA的直滑道內滑動，如圖所示。已知φ=ωt（ω為常數），試分別寫出銷釘M的直角坐標和弧坐標形式的運動方程，并求其速度和加速度。

3-11 半徑為r的圓輪在水平直線軌道上運動，輪心的速度v 0為常數。OA=l，試求當φ=6 0°時，桿OA端點A的速度和加速度。已知運動時桿OA一直與圓輪相切。

3-12 一點的運動軌跡為平面曲線，其速度在y軸上的投影保持為常數c。試證該點的加速度大小為，其中v為速度大小，ρ為曲率半徑。