第4章 剛體的運動

剛體的運動包括剛體的平移、定軸轉動、平面運動、定點運動和一般運動。其中，剛體的平移和定軸轉動是剛體的最基本運動，其他的剛體運動可以看成剛體的基本運動以不同方式合成的復合運動。

4.1 剛體的一般運動

不受限制的剛體稱為自由剛體。自由剛體在空間中的運動稱為剛體的一般運動。如衛星、導彈、飛機等在空間的運動都是剛體的一般運動。

基本定理 對于矢量A，使A·B=0的充要條件是：存在矢量Ω，使

B=Ω ×A

證明：必要性。設A·B=0，即A⊥B，

令C=A×B，則C×A與B 平行，因此存在實數α，使

B=αC ×A

令Ω=αC，即得

B=Ω ×A

充分性。設存在矢量Ω，使B=Ω ×A，顯然

A·B=A·（Ω ×A）=0

證畢。

如圖4-1所示的剛體，對其中的任意兩點A和B，有

式（4-1）兩邊對時間求導，得

式（4-3）表明，剛體上任意兩點的速度沿兩點連線上的投影相等，如圖4-1所示。式（4-3）稱為剛體的速度投影定理。

由式（4-2）和基本定理可知，存在矢量ω，使

不難證明，當已知剛體上不共線的三點A、B、C的速度vA、vB、vC時，由

可唯—確定矢量ω，即

式中，v1=vB-vA，v2=vC-vA。不難證明，由式（4-6）確定的ω與不共線三點的選取無關。

設選取不共線的三點A、C、D的速度vA、vC、vD，由式（4-6）確定ωA；選取不共線的三點B、E、F的速度vB、vE、vF，由式（4-6）確定ωB，則對剛體上的任一點P，有

但

式（b）代入式（a），得

vA+ωA ×rAP=vA+ωA ×rAB+ωB ×rBP

即

由rBP的任意性，得

因此，ω是剛體運動的一個特征量。

由式（4-4）得

式（4-7）是剛體上兩點間的速度關系，點A稱為基點，式（4-7）稱為基點法的速度公式。由圖4-2可以看出，剛體上任一點的速度等于基點的速度與剛體繞過基點ω 方向的軸轉動時該點速度的矢量和。ω 稱為剛體的角速度，其大小和方向可以隨時間變化。稱過基點ω 方向的軸為剛體的瞬時轉軸。

用dt乘以式（4-7）兩邊，則

顯然，drB=vBdt，drA=vAdt，令，由圖4-2可以看出，dφ為剛體在dt時間間隔內繞瞬時轉軸轉過的微小角度，稱為剛體繞瞬時轉軸的微小轉角，式（4-8）可寫成

式（4-9）表明，剛體的運動可以分解為隨基點的平動和繞過基點的某軸的轉動。

式（4-4）的另一種形式為

式（4-10）表明，固連于剛體上大小不變的一個運動矢量對時間的變化率等于剛體的角速度叉乘矢量本身。

式（4-7）兩邊對時間求導數，得

令，稱為剛體的角加速度，其方向沿著ω=ω（t）的矢端曲線的切線方向。

式（4-11）為剛體兩點間的加速度關系，稱為基點法的加速度公式。令a R=α × rAB，a N=ω ×（ω ×rAB），分別稱為該點的轉動加速度和向軸加速度。由于ω、α 一般不共線，所以aR和aN一般不垂直，即一般不是繞基點瞬時轉軸轉動的切向加速度和法向加速度。

4.2 剛體的基本運動

剛體的平移和定軸轉動稱為剛體的基本運動。

為更方便研究剛體的運動，下面介紹自由度的概念。

確定系統空間位置的獨立坐標的數目稱為系統的自由度。這里所說的坐標可以是直角坐標，也可以是其他的幾何參數，如角度、弧長等，稱為廣義坐標。

例4-1 確定圖4-3所示機構的自由度。

解：圖4-3（a）所示的平面曲柄連桿機構的自由度為1，因為角參數φ可以確定機構所處位置；圖4-3（b）所示的橢圓擺的自由度為2，獨立參數s和φ可以確定機構所處位置。

1.剛體的平移

剛體在運動過程中，有ω=0，這種運動稱為剛體的平移或平動。

顯然，剛體的角加速度 ，因此對剛體上的任意兩點A、B，由式（4-7）、式（4-11）得

這說明平移剛體上各點在同一瞬時的速度和加速度都相同。由積分公式（4-12）第一個等式，得

式中，b為常矢量，大小等于點A、B間的距離。式（4-11）表明平移剛體上任意兩點的運動軌跡經過平移可以重合，因此對平移剛體而言，其上任一點的運動就代表了整個剛體的運動，也就是說，平移剛體的運動歸結為點的運動。平移剛體的自由度不超過3。

由式（4-13）得

這說明平移剛體上任一線段的方向不隨時間變化，這是平移剛體的重要性質，可作為剛體是否平移的直觀判據。

剛體平移不限于直線平移，也可以是曲線平移（圓弧平移是曲線平移的特殊情況）。

2.剛體的定軸轉動

剛體在運動過程中，若其內部或延伸部分始終存在著一根固定不動的直線，則稱剛體的這種運動為定軸轉動，固定不動的直線稱為剛體的轉軸。

如圖4-4所示的定軸轉動剛體。建立固定坐標系Oxyz，Oz軸為轉動軸。在Oz軸上任取兩點A和B，則由式（4-7）得

vB-vA=ω ×rAB=0

即ω∥rAB，令

ω =ωk

則

其中表示角加速度的大小。

對剛體上的任一點M，它在與轉軸垂直的一個平面內做圓周運動。取一基準線段O1M0平行于x軸，在任一時刻O1M與基準線的夾角φ稱為剛體的轉動角，其正負號由右手螺旋法則確定，如圖4-4所示。

dφ =dφ k=ω dt=ωdtk

由此，得

以原點O為基點，點M的速度和加速度分別為

式中，an=ω ×v、at=α ×r分別標為點M的法向加速度和切向加速度。

轉動角φ可以確定定軸轉動剛體空間位置，因此剛體的自由度為1。定軸轉動剛體的轉動方程為

例4-2 如圖4-5所示，某瞬時大齒輪的角速度ω1和角加速度α1繞定軸O1轉動，并與繞定軸O2轉動的齒輪相互嚙合。設兩齒輪的節圓半徑分別為r1和r2，求小齒輪的角速度和角加速度，并求兩輪嚙合點的速度和加速度。

解：兩嚙合齒輪轉動時，在嚙合點無相對滑動，因此在嚙合點兩齒輪有相同的速度，即

或

式（2）兩邊對時間求導，得

顯然

這說明兩嚙合齒輪的角速度、角加度之比與它們的節圓半徑成反比。

4.3 剛體的平面運動

若剛體上任一點的速度始終平行于一個固定平面，則稱剛體的這種運動為剛體的平面運動。

1.平面運動剛體上兩點速度和加速度關系及運動方程

以平行于固定平面的平面截剛體，得一平面圖形S，如圖4-6所示，則圖形S上任一點的速度都在圖形S平面內。

在運動圖形所在的平面上建立固定坐標為Oxy。在圖形S上取基點O′，建立平移坐標系O′x′y′，兩坐標系對應軸相互平行，如圖4-6所示。對圖形S上的任一點M。

由于vM、vO′、rO′M都在圖形S內，所以角速度ω 一定垂直圖形S，令

由式（4-7）和式（4-20）可知，垂直于圖形S的直線上的點具有相同的速度，并且軌跡完全一樣，因此圖形S的運動完全代表了剛體的運動。

對式（4-20）關于時間求導，得

類似于剛體的定軸轉動，O′M與x′軸的夾角φ稱為剛體平面運動的轉動角，如圖4-6所示。其正負號由右手螺旋法則確定。

dφ =dφ k′=ω dt=ωdtk′

由此，得

點M的速度和加速度分別為

在平移坐標求O′x′y′下，點M相對于原點O′做圓周運動。令

其中

式中，vMO′表示點M相對于點O′的速度；aMO′表示點M 相對于點O′的加速度，分別為aMO′的切向分量與法向分量。它們的大小分別為

這樣，式（4-20）、式（4-24）可記為

式（4-32）、式（4-33）說明，剛體的平面運動可以分解為隨基點O′的平移和繞過基點O′并垂直于運動平面的軸的轉動。

不難看出，平面運動剛體的自由度為3。確定基點O′需要兩個獨立坐標xO′、yO′，而確定剛體相對平移坐標O′x′y′的位置只需要一個剛體的轉角φ，因此xO′、yO′和φ三個獨立坐標完全確定平面運動剛體所處位置。平面運動剛體的運動方程可表示為

當φ=常數時，剛體做平面平移；當xO′=常數、yO′=常數時，剛體做定軸轉動。

例4-3 如圖4-7所示曲柄連桿機構，曲柄OA以θ=ωt的規律做定軸轉動，ω是常數，試寫出連桿AB的運動方程。已知OA=r，AB=l。

解：連桿AB做平面運動，取點A為基點，建立固定坐標系Oxy和平移坐標系Ax′y′，如圖4-7所示。

桿AB的運動方程為

2.速度瞬心

基點法的速度公式中，基點是可以任意選取的，如果剛體內或其延伸部分上存在瞬時速度為零的點，以此點為基點，則基點法的速度公式會得到簡化。下面就來找這一點。

設點P的瞬時速度為零，以點O′為基點，則

vP=vO′+ω ×rO′P=0

上式兩邊左叉乘ω，注意到

ω ⊥rO′P

ω ×（ω ×rO′P）=（ω ·rO′P）ω-（ω ·ω）rO′P=-ω2rO′P

得

ω ×vO′-ω2rO′P=0

當ω≠0時，

因此，當ω≠0時，瞬時速度為零的點是存在的，它在基點O′的速度的垂線上，距點O′為|rO′P|=。稱點P為瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。當ω=0，剛體瞬時平移，其速度瞬心在無窮遠處。

以速度瞬心P為基點，則平面圖形任一點M的速度為

上式與定軸轉動剛體上任意點的速度公式有相同形式，即平面圖形上的任一點的速度等于平面圖形以角速度ω繞過速度瞬心垂直平面圖形的軸轉動時該點的速度。以速度瞬心為基點求平面圖形上任一點速度的方法，稱為速度瞬心法。

下面介紹幾種確定速度瞬心的方法。

（1）已知圖形上兩點A、B的速度方向，若vA、vB互不平行，則速度瞬心必在過兩點速度垂線的交點上，如圖4-8（a）所示；若vA∥vB，則有兩種情況：①當速度垂線平行時，速度瞬心在無窮遠處，剛體為瞬時平移，如圖4-8（b）所示；②當速度垂線重合時，則速度瞬心必在速度矢端的連線與速度垂線的交點上（vA≠vB），如圖4-8（c）、（d）所示；此交點可以在無窮遠處（vA=vB），此時剛體為瞬時平移，如圖4-8（e）所示。

（2）當平面圖形沿某固定曲線做純滾動時，因接觸點無相對滑動，速度為零，接觸點就是速度瞬心，如圖4-8（f）所示。

（3）當已知圖形上一點A的速度v A及角速度ω 時，將vA，沿ω 的轉向轉9 0°，再截取距離為的點。此點即是速度瞬心，如圖4-8（g）所示。

應該指出的是，速度瞬心不是平面圖形上的固定點，其位置隨時間而變化，速度瞬心僅瞬時速度為零，而瞬時加速度一般并不為零。

例4-4 如圖4-9所示曲柄滑塊機構。曲柄OA以勻角速度ω轉動，已知曲柄OA長為r，連桿AB長為l，當曲柄在任意位置φ=ωt時，試求滑塊B的速度。

解法1：基點法

曲柄OA做定軸轉動，連桿AB做平面運動。點A的速度為

設連桿AB的角速度為ω1，以點A為基點，則

式（2）是一個平面矢量方程，可以求解兩個未知量。由幾何關系得

如圖4-9所示，把式（2）沿AB方向投影，得

其中ψ由式（3）確定。

把式（2）沿垂直方向投影，得

解法2：速度瞬心法

由于已知點A、B的速度方向，因此點P即為桿AB的速度瞬心。由幾何關系，得

解法3：速度投影定理

由幾何關系，得

由速度投影定理，得

解法4：點的運動學

建立坐標系Oxy，如圖4-9所示，則

由幾何關系，得

rsi nφ=lsi nψ

上式兩邊對時間求導，得

r φ cosφ=lψ cosψ ψ=r ω cos φl cos ψ

這是連桿AB的角速度，代入式（10），得

上式負號表示點B的速度方向與x軸方向相反。

例4-5 如圖4-10所示的平面機構，已知桿O1A的角速度為ω1，桿O2B的角速度為ω2，O2B=r，，在圖示瞬時，桿O1A處于鉛垂位置，桿AC和O2B處于水平位置，而桿BC與鉛垂線成30°夾角，試求該瞬時點C的速度。

解法1：基點法

系統為兩自由度系統，點C的速度大小和方向都未知。

以點A的基點，考慮點C，

其中，上式有三個未知量，不能求解。為此，以點B為基點，考慮點C，

其中vB=rω2，上式也有三個未知量。由式（1）、（2）得

式（3）只有兩個未知量，可以求解。只要求得vCA，則vC可方便求出。

把式（3）沿BC方向投影，得

如圖4-11所示。

解法2：速度投影定理

設點C的速度v C與水平方向成θ角，如圖4-10所示。對桿AC應用速度投影定理，得

同理，對桿BC應用速度投影定理，得

式（5）除以式（4），得

例4-6 如圖4-12所示的平面四連桿機構。已知曲柄O1A以勻角速度ω1繞O1軸轉動，O1A=r1，AB=l，O2B=r2，試求圖示位置時，桿AB和O2B的角速度和角加速度。

解：桿O2B做定軸轉動，設其角速度和角加速度分別為ω2和α2，桿AB做平面運動，設其角速度和角加速度分別為ω和α，如圖4-12、圖4-13所示。

（1）速度分析

以點A為基點，考慮點B，得

其中，vA=r1ω1。將式（1）沿O2B方向投影，得

將式（1）沿AB方向投影，得

（2）加速度分析

以點A為基點，考慮點B，得

aB=aA+aBA

由于桿O2B做定軸轉動，上式可寫成

其中。將式（2）沿O2B方向投影，得

將式（2）沿AB方向投影，得

3*.加速度瞬心

與速度瞬心類似，如果剛體內或其延伸部分上存在瞬時加速度為零的點，以此點為基點，則基點法的加速度公式會得到簡化。下面來確定該點的位置。

設點P*的瞬時加速度為零，以點O′為基點，則

上式兩邊左叉乘α，得

即

式（1）、（2）消去得

當ω、α 不同時為零時，

因此，當ω、α 不同時為零時，瞬時加速度為零的點P*是存在的，稱此點為瞬時加速度中心，簡稱加速度瞬心。

由式（4-36）可知

如圖4-14所示。

以點P*為基點，平面圖形上的一點M的加速度為

式（4-38）與定軸轉動剛體上任意點的加速公式有相同的形式，即平面圖形上任一點的加速度等于平面圖形的角速度ω和角加速度α繞過加速度瞬心垂直平面圖形的軸轉動時該點的加速度。

以加速度瞬心為基點求平面圖形上任一點加速度的方法稱為加速度瞬心法。顯然，確定加速度瞬心并不怎么方便，在求解加速度問題時一般不采用加速度瞬心法。但在兩種特殊情況下卻很方便：①ω=0，α≠0，這時，aM=P*M·α，方向由順著α轉向轉9 0°；②ω≠0，α=0，這時θ=0，aM=P*M · ω 2，方向由點M指向點P*。

由式（4-34）和式（4-36）可知，速度瞬心和加速度瞬心一般是不重合的，即 與vM一般不共線，因此 和并不是點M的切向和法向加速度，它們只是點M相對于加速度瞬心的切向和法向加速度。

習題

4-1 對于平面運動的剛體，某瞬時角速度、角加速度同時為零，此時剛體上各點的速度與加速度是否相等？能否得出剛體做平移的結論？為什么？

4-2 圖示為平面圖形的三種速度分布情況，其中可能的是_______，不可能的是________。

4-3 圖示小車的車輪A與滾柱B的半徑都是r。設A、B與地面之間和B與車板之間都沒有滑動，則小車前進時，車輪A和滾柱B的角速度是。

（a）ωA＞ωB

（b）ωA=ωB

（c）ωA＜ωB

4-4 桿A B的兩端可分別沿水平、鉛直滑道運動。已知B端的速度為vB，則圖示瞬時點B相對于基點A的速度大小為________。

（a）vB si nθ

（b）vB cosθ

（c）

（d）θ

4-5 試判斷圖示平面圖形上的加速度分布是否可能？為什么？

4-6 設同一平面圖形上任意兩點A、B的速度和加速度分別為v A、vB和a A、a B，M為A、B連線的中點，試證：

4-7 圖示圓輪Ⅰ、Ⅱ的半徑分別為r 1=15 c m，r 2=20 c m，它們的中心分別鉸接于桿AB的兩端，兩輪在半徑R=45cm的固定不動的曲面上運動。在圖示瞬時，點A的加速度大小為aA=120 c m/s2，其方向與OA線成60°夾角，試求桿AB的角速度、角加速度及點B的加速度。

4-8 如圖所示，桿A B一端A沿水平面以勻速vA向右滑動，桿身緊靠高為h的墻邊角C。試根據定義求桿與水平面成φ角時的角速度和角加速度。

4-9 如圖所示，靠在固定的半圓柱上的直桿A B在鉛垂面內運動。已知A端以勻速vA在水平面上運動，固定半圓柱半徑為r。試根據定義求桿與水平面成φ角時的角速度和角加速度。

4-1 0 振動篩機構如圖所示。篩子擺動由曲柄連桿機帶動。已知曲柄OA長l=30 c m，轉速n=40 r/min，O 1 D=O 2 E，O 1 O 2=DE，當BC運動至與O同一水平線時，∠AOB=60°，OA⊥AB。試求此瞬時篩子BC的速度。

4-1 1 在圖示曲柄連桿機構中，曲柄OA=40 c m，連桿AB=100 c m，曲柄OA繞軸O做勻速轉動，其轉速n=180 r/min。當曲柄與水平線間成45°時，試求連桿AB的角速度和其中點M的速度。

4-12 在圖示四連桿機構中，，曲柄以角速度ω=3rad/s繞軸O轉動。試求在圖示位置時桿AB和O1B的角速度。

4-13 在圖示四連桿機構中，桿AB以角速度ω繞軸A轉動，帶動桿CD繞軸D轉動。已知AB長為r，CD長為l。試求圖示位置桿CD的角速度。

4-14 直徑為d的滾輪（O為輪心）在水平直線軌道上做純滾動。長為l的桿AB的A端與輪緣鉸接。已知滾輪角速度為ω，在圖示瞬時，OA與水平成3 0°夾角，AB處于水平位置。試求此時桿AB的角速度和滑塊B的速度。

4-15 使砂輪高速轉動的裝置如圖所示。桿O1O2繞O1軸轉動，轉速為n。O2處用鉸鏈連接一半徑為r2的活動齒輪Ⅱ，桿O1O2轉動時輪Ⅱ在固定齒輪Ⅲ上滾動并使半徑為r1的齒輪Ⅰ繞O1轉動，齒輪Ⅰ上裝有砂輪并隨之高速轉動。已知，n=900r/min，試求砂輪的轉速。

4-16 曲柄連桿機構如圖所示，已知曲柄OA長r=20 c m，連桿AB長l=100 c m，曲柄OA以勻角速度ω 0=10 rad/s轉動。試求機構在圖示位置，即α=45°、β=45°時，連桿AB的角速度、角加速度和滑塊B的加速度。

4-17 平面四連桿機構ABCD的尺寸和位置如圖所示。已知桿AB以勻角速度ω=1rad/s繞軸A轉動，試求此瞬時點C的速度和加速度。

4-18 半徑均為r的兩輪用長為l的桿O2A相鉸接，如圖所示。前輪O1做勻角速純滾動，輪心速度為v，試求在圖示位置后輪O2做純滾動的角速度和角加速度。