第2章 力系的平衡

力系的平衡是靜力學最重要的內容。本章將根據第1章中力系的簡化結果導出力系的平衡方程，然后介紹平衡方程的應用，最后討論考慮摩擦的平衡問題。

2.1 力系的平衡方程

力系的平衡是指力系的平衡條件，即力系作用于剛體，使剛體保持平衡的條件。

設剛體受力系F1，F2，…，Fn作用，由力系簡化的結果知，該力系向一點O簡化可得一力 和一力偶矩等于 的力偶。由平衡原理知，剛體保持平衡的充要條件是：作用于剛體的力系等效于零力系，即

這說明力系的主矢和對一點的主矩為零是力系平衡的充要條件。式（2-1）稱為力系的平衡方程。

在具體應用時，常用平衡方程在直角坐標系下的投影式。建立直角坐標系Oxyz。設Fi={Fix，Fiy，Fiz}（i=1，2，…，n），由力對點的矩和力對軸的矩的關系，式（2-1）在直角坐標系下的投影式為

式（2-2）常寫成簡略形式為

對空間一般力系而言，式（2-3）最多提供6個獨立的平衡方程。

下面討論幾個特殊力系的平衡方程。

1.空間匯交力系

由伐里農定理知，對于匯交力系，各分力對一點的矩的矢量和等于合力對該點的矩，因此當合力為零時，各分力對一點的矩的矢量和一定等于零，即各分力對坐標軸的矩的代數和一定為零，由此可以知，獨立的平衡方程為

盡管獨立的平衡方程數不大于3，在具體應用時，并不排斥應用矩方程，即某個投影方程可用對某軸的矩方程代替。

2.平行力系

設力系平行于y軸，則

∑Fx=0，∑Fz=0，∑My=0

是三個恒等式，所以獨立的平衡方程為

獨立的平衡方程數不超過3。

3.平面力系

設力系的作用平面是xy平面，則

∑Fz=0，∑Mx=0，∑My=0

是三個恒等式，所以獨立的平衡方程為

獨立的平衡方程數不大于3。對于平面力系，∑Mz=0常稱為對點O的矩為零，記為∑MO=0，這是一種簡便記法。

了解各種力系的獨立平衡方程數是為了分析問題時明確能求解的約束力所包含未知量的個數。若平衡問題中未知約束力所包含的未知量的個數小于或等于獨立的平衡方程數，則稱這種問題為靜定問題，這是可直接求解的問題。若問題中未知約束力所包含未知量的個數大于獨立的平衡方程數，則稱這種問題為靜不定問題或超靜定問題，這是在理論力學范圍內不能求解的問題。它要通過其他途徑去尋求足夠多的補充方程。

兩個力作用于剛體，使剛體保持平衡，則此二力一定大小相等、方向相反、作用線相同。對三個力的情況有下面定理。

定理 作用于剛體的三個力F1、F2、F3使剛體保持平衡，則此三力必共面，且作用線交于一點。

證明：考慮F1和F2，此二力的簡化結果是：①合力F12；②力偶或力螺旋。顯然，后者不可能與F3平衡，因此，只可能是合力F12，并且F12與F3有相同的作用線。這說明F1、F2、F3共面。

若F1和F2的作用線相交于一點，則F3的作用線必過此點，否則三力不平衡。若F1和F2平行，則F1、F2、F3是平衡的平行力系，它們的作用線相交于無限遠處。

當使用上述定理時，某些平衡問題能起到很大的簡化作用。

例2-1 均質桿AB長2l，重P，放在直徑為r的光滑圓槽內，如圖2-1所示，試求桿AB平衡時與直徑ED的夾角φ及A、D兩點處的約束力。

解：桿AB的受力分析如圖2-1所示，桿AB所受的力系為平面任意力系。未知約束力為FA、FD，還有一個未知的角度φ，共三個未知量，可以求解。

建立坐標系Axy，如圖2-1所示。

由式（1）、（2），得

式（4）代入式（3），得2rcos2φ-lcosφ=0

即

由于，負號不合題意，取

式（4）、（6）即是要求的量。

討論：①顯然，2rcosφ＜2l，否則FD改變方向指向點O。

②cosφ＜1，即

這意味著重心C在圓槽內，否則難以平衡。由式（7）、（8）得

例2-2 如圖2-2所示的多拱結構，重量不計。已知拱的尺寸a和作用力F1、F2，試求支座A、B的約束力。

解：拱結構的受力如圖2-2所示，它所受的力系為平面任意力系。結構整體有4個未知量FAx、FAy、FBx、FBy，但只有三個獨立的平衡方程，不能直接求解。由于這是一個剛體系統，有6個剛體，一共有18個未知約束力分量，而對每個剛體有3個獨立的平衡方程，因此獨立的平衡方程數也是18個，問題是可以求解的。下面通過精心選擇研究對象來求解問題。

首先，考慮整體。

FAx、FBx只要有一個確定，另一個便可由式（3）確定。為此，考慮剛體BDE，如圖2-3（a）所示。

這里有5個未知約束力分量，有些是不需要求的，應用對點E的矩方程，得

為求FDy，考慮CDHG部分，如圖2-3（b）所示。

由式（3）、（4）、（5），得

負號表示FAx、FBx的方向與所設的方向相反。

平面力系的平衡問題是靜力學的重點。從分析問題的獨立的平衡方程數和未知約束力所包含未知量數入手，確定問題是靜定問題，還是靜不定問題；然后，靈活選取研究對象及運用三個基本的平衡方程，直到求得問題的解答。在求解過程中，對矩方程的靈活應用往往可以降低問題求解的復雜性，因為選擇適當的矩點（矩心）可以避免方程出現不必要的未知約束力。

對于平面力系的三個基本平衡方程，由于只有一個矩方程，通常稱為一矩式。在應用上，還有其他形式的平衡方程可以代替一矩式，但有一些限制條件，它們是

（1）二矩式

限制條件是u軸不能與點A、B的連線垂直。

（2）三矩式

限制條件是點A、B、C三點不能共線。

式（2-7）、式（2-8）的證明從略，有興趣的讀者可參考相關文獻。

例2-3 已知F=q0a，試求圖2-4所示結構的支座約束力。

解：結構所受的支座約束力如圖2-4所示，有FAx、FAy、MA、FD四個未知量。考慮整體，結構受的力系為平面一般力系，只有三個獨立的平衡方程，不能直接求解。為此，先考慮CD部分，受力如圖2-5所示。根據例1-4的結果，得

然后，考慮整體，有

考慮整體時，也可用二矩式或三矩式方程進行求解。

下面的例子是關于空間一般力系的。

例2-4 自重可不計的直桿AC，一端以光滑球鉸A與地面相連，另一端掛一重為W 的重物，在點B系兩根與鉛垂墻面相連的繩子，在圖2-6所示的位置（兩繩在同一水平面內）處于平衡。試求球鉸鏈A處的約束力和兩繩的張力。

解：建立坐標系Oxyz，直桿AC的受力分析如圖2-6所示。有FAx、FAy、FAz、T1、T2五個未知約束力，這是空間力系，最多有6個獨立的平衡方程，可以求解。

∑Mx=0，FAy·c-W（a+b）=0

這里還有一個方程∑Fx=0沒有用到。

∑Fx=0，FAx+T 1 si nα-T 2 si nα=0

上式并不獨立，是方程∑Mz=0和方程∑My=0的線性組合。只所以出現這種情況是因為這個力系各力的作用線都通過桿AC，因此力系對AC軸的矩恒為零，從而獨立的平衡方程數減少了一個。

2.2 桁架

桁架是由桿組成的一種承載結構，它滿足下列條件：①桿為不計重量的剛性直桿；②各桿都由光滑鉸連接；連接點稱為桁架的節點；③載荷均作用于節點上。顯然，組成桁架的桿都是二力直桿。

桁架是一種比較理想的力學模型。鐵路橋梁、屋架、電視發射架、建筑用起重機架等都可以看成桁架結構。

在理論力學中僅討論靜定桁架，即桁架各桿的內力都可以由平衡方程求得。求解桁架中桿的內力的方法有兩種：節點法和截面法。所謂節點法是以桁架節點為研究對象，考察它的平衡。所謂截面法是以桁架某一部分為研究對象，用假想的截面把這部分從桁架中分離出來，考慮它的平衡。對于平面桁架（即桁架所受的內力和外力的作用線在同一平面內），節點法處理的是平面共點力系，截面法處理的是平面一般力系。下面以例子加以說明。

例2-5 如圖2-7所示，已知，試求桁架中桿4、5、6的內力。

解法1：節點法

先判斷結構中內力為零的桿（稱為零桿）。約定所有桿內力為拉力。考慮節點C，如圖2-8（b）所示，有FN3=0。同理，桿5為零桿，即FN5=0。

整體考慮，如圖2-7所示。

考慮節點A，如圖2-8（a）所示，

考慮節點C，如圖2-8（b）所示，可得

FN 4=FN 1=-6（kN）

考慮節點D，如圖2-8（c）所示，可得

解法2：截面法

考慮整體，可求得

用假想截面截斷桿4、5、6，考慮ACD部分，受力如圖2-9所示，則

顯然，FN5=0。

例2-6 試求如圖2-10所示桁架中桿CD的內力，已知F 1=F 2=F。

解：由于桁架的構造，用節點法求解，要求解聯立方程組。下面用截面法來求解。

考慮整體，受力如圖2-10所示。

∑M A=0，FB ·3a-F1 ·a-F2 ·2a=0

FB=F

用截面截斷桿AE、CD和BG，以BED為研究對象，受力如圖2-11所示，以線段AE和BG的延長線的交點K為矩心。

2.3 摩擦

如果兩個物體接觸，那么在接觸處會產生一對相互作用的力，如圖2-12所示。圖中F是物體B對物體A的作用力，F′是F的反作用力。由于兩物體在接觸處并不光滑，F的方向并不沿公切面的法線方向，因此公切面上有F的分力Ff，以阻礙物體間的相對運動，這種現象稱為摩擦。Ff稱為摩擦力。如果兩個物體在接觸處沒有相對滑動，這種摩擦稱為靜滑動摩擦，簡稱靜摩擦，否則稱為動滑動摩擦，簡稱動摩擦。

實驗表明，靜摩擦力Ff的大小不超過一個最大值Ffmax，Ffmax與法向力FN的大小成正比，即

式中，fs是一個與兩個接觸物體的材料、接觸處的狀況相關的因數，稱為靜摩擦因數。對于動摩擦力Ff，其大小也與法向力FN的大小成正比

式中，f稱為動摩擦因數。在一般情況下，f略小于fs，在精度要求不高的問題中，可以近似認為兩者相等。式（2-10）、式（2-11）稱為庫侖摩擦定律。

用斜面實驗可以簡單確定靜摩擦因數fs，方法如下：

把要測的兩個物體的材料分別做成一可繞軸O轉動的平板OA和物塊B，并使兩者表面情況符合預定要求，如圖2-13（a）所示。當φ較小時，物塊B在斜面上靜止，其受力如圖2-13（b）所示。顯然

Ff=Wsi nφFN=Wc o sφ

逐漸增大φ，使物體B達到將要下滑的臨界平衡狀態，φ達到其最大值φm，這時

Ff m a x=Wsinφm FN=Wcosφm

由庫侖摩擦定律，Ffmax=fsFN，則

fs=ta nφm

φm稱為摩擦角。軸線垂直于兩物體接觸面平面，當摩擦各向同性時，母線與軸線成角φm的圓錐稱為摩擦錐。

定理 如果作用于物體上的主動力的合力作用線在摩擦錐內，則不論主動力合力的大小怎樣，物體仍將保持平衡。這種現象稱為自鎖。

證明：如圖2-14所示，作用于物體上的主動力的合力F1與接觸面的法線方向的夾角φ≤φm，物體受到的約束力分力為Ff、FN。

物體要保持平衡，必須滿足

顯然，不管F1多大，接觸面能提供約束力FN=F1cosφ，即式（2）能滿足，因此問題的關鍵是式（1）能否成立，即接觸面能否提供足夠大的摩擦力。由于

Ff=F1 cosφtanφ=FN tanφ≤tanφmFN=fsFN

上式表明地面能提供足夠大的摩擦力，因此物體仍將保持平衡。

在摩擦問題中，正確判斷摩擦力的方向非常重要。判斷摩擦力方向的基本原則是：靜摩擦力的方向總是與物體相對滑動趨勢相反；動摩擦力的方向總是與物體相對滑動方向相反。

例2-7 斜面上重物的自鎖問題。如圖2-15所示，物體重為W，放在傾角為φ的斜面上，物體與斜面的摩擦角為φm。當φ≤φm時，重力作用線在摩擦錐內，不管物體多重，都不會下滑，處于自鎖狀態；當φ＞φm時，物體下滑，因為斜面能提供的約束力的作用線只能在摩擦錐內，這時重力作用線與約束力作用線不重合，即不能平衡。

例2-8 楔形槽的摩擦問題。

如圖2-16所示，楔體在主動力F作用下，斜面產生法向約束力FN，由于沒有滑動趨勢，圖平面內沿斜面并不產生摩擦力。由平衡方程得

當楔體受垂直圖平面方向的作用力而沒有滑動時，斜面上產生的摩擦力也沿垂直圖平面的方向，楔體受到的總摩擦力為

式中，fs是楔體與斜面的靜摩擦因數，sα，顯然f′s＞fs，即楔體沿槽方向受到的摩擦力比平面上的情況大α倍，這意味著利用摩擦力傳遞力，楔形槽要比平面大α倍。工程實際中，傳動輪上的梯形截面皮帶就是根據這個原理設計的。

例2-9 如圖2-17所示，斜面上的物體重P，物體與斜面間的靜摩擦因數為fs，斜面傾角為φ，且φ＞φm（tanφm=fs），試求能維持物體在斜面上靜止所需的水平力Q的大小。

解法1：物體有向上、向下兩種滑動趨勢，建立坐標系O xy，如圖2-17所示。

（1）設物體有向下滑動的趨勢，物體受力如圖2-18（a）所示。

∑Fx=0，Q c o sφ+F f-P si nφ=0 Ff=-Qc o sφ+Psi nφ ∑Fy=0，F N-Q si nφ-P c o sφ=0

FN=Qsi nφ+Pc o sφ

但

Ff≤fsFN=ta nφmFN-Qcosφ+Psinφ≤tanφm（Qsinφ+Pcosφ）

（2）設物體有向上運動的趨勢，物體受力如圖2-18（b）所示。

∑Fx=0，Q c o sφ-F f-P si nφ=0

Ff=Qc o sφ-Psi nφ

∑Fy=0，F N-Q si nφ-P c o sφ=0

FN=Qsi nφ+Pc o sφ

但

Ff≤fsFN=ta nφmFN

當時，由式（2）得

當時，式（2）恒成立，即不論Q多大，物體保持靜止，處于自鎖狀態。

綜上所述，當時，

Pta n（φ-φm）≤Q≤Pta n（φ+φm）

當時，

Q≥Pta n（φ-φm）

解法2：以物體為研究對象，Q和P的合力為F，F與P的夾角為α，如圖2-19所示，則

畫出摩擦錐，則物體平衡時主動力的合力F的作用線不能超出摩擦錐，如圖2-19所示。即

|α-φ|≤φm

展開

當時，

tan（φ-φm）≤tanα≤tan（φ+φm）

即

Pta n（φ-φm）≤Q≤Pta n（φ+φm）

當時，由于，得

tan（φ-φm）≤tanα＜+∞

即 Pta n（φ-φm）≤Q＜+∞

例2-10 如圖2-20所示，重為P的均質長方形木塊放置在水平桌面上，已知木塊的長為a，高為h，與桌面間的靜摩擦因數為fs，若主動力F水平向右作用于木塊的左側上，試求木塊保持平衡的力F的大小。

解：由于考慮木塊的尺寸，木塊有兩種可能的運動趨勢：滑動和繞點B的轉動。

（1）當木塊有滑動趨勢時，木塊的受力如圖2-21（a）所示。

∑Fx=0，F-Ff=0

Ff=F

∑Fy=0，FN-P=0

FN=P

不滑動的條件為

（2）當木塊有繞點B轉動的趨勢時，力F作用在木塊左側最高點A最容易發生這種翻倒趨勢，木塊的受力如圖2-21（b）所示。

木塊不發生翻倒的條件是。

取，則當F≤F0時，木塊能保持平衡。

習題

2-1 平面任意力系平衡方程的獨立方程數最多是多少？可以有哪幾種形式？這些形式的方程組各有什么要求？若不滿足這些要求，則會出現什么結果？

2-2 空間匯交力系、空間平行力系、空間力偶系最多各有幾個獨立的平衡方程？空間匯交力系的平衡方程一定不能有力矩形式嗎？

2-3 有人認為任何物體系統平衡的充要條件是：作用于該物體系統上的所有外力主矢FR=0和對一點O的主矩MO=0。你認為正確嗎？為什么？

2-4 圖示F1，F2，…，Fn為一平面力系，則下列平衡方程中相互獨立的平衡方程有________。

（a）∑Fy=0，∑MA=0，∑MB=0

（b）∑Fx=0，∑Fy=0，∑MO=0

（c）∑MA=0，∑MB=0，∑MO=0

（d）∑MA=0，∑MB=0，∑MC=0

（e）∑MA=0，∑MB=0，∑Fx=0

2-5 圖示結構受三個已知力作用，分別匯交于點B和點C，有___________。

（a）FA=0，FD不一定為零

（b）FD=0，FA不一定為零

（c）FA=0，FD=0

（d）FA、FD均不一定為零

2-6 一剛體只有兩力FA、FB作用，且FA+FB=0，則此剛體________；一剛體只有兩力偶MA、MB作用，且MA+MB=0，則此剛體_________。

（a）一定平衡

（b）不一定平衡

（c）平衡與否不能判定

2-7 圖示平衡問題中，靜定的有________，靜不定（超靜定）的有_________。

2-8 機器起吊時若應用兩個吊環螺釘，通常規定起吊角α不超過90°，這是為什么？

2-9 試舉出日常生活中三個以上摩擦自鎖的例子。

2-10 如圖所示，物體重W，放在傾角為α的粗糙斜面上，受方向與底邊AB平行的力F作用，物體處于平衡狀態，試確定物體受的摩擦力的方向。

2-11 在圖示系統中，不計桿的重量和接觸處摩擦，試求各支座的約束力。

2-1 2如圖所示，梁AB上鋪設有起重機軌道，起重機重G 1=50 k N時，重物G=10 k N，梁重（包括軌道）G2=30kN。試求重物和起重機在圖示位置時，支座A、B的約束力。

2-13 如圖所示，無底的圓柱體空筒放在光滑的固定水平面上。內放兩重球，其重均為G，半徑為r，且，圓筒的半徑為R，不計球與球之間，球與筒之間的摩擦及筒的厚度，試求圓筒不致翻倒的最小重量。

2-14 重為G=1.8kN的重物懸掛如圖所示。其他重量不計，R=10cm，試求鉸鏈A的約束力及桿BC所受的力。

2-15 在圖示系統中，忽略各桿的重量，試求各支座的約束力。

2-16 圖示均質桿OA重P，長l，放在寬度為的光滑槽內。試求桿在平衡時的水平傾角α。

2-17 如圖所示，兩根重量均為P、長度均為l的均質桿光滑鉸接置于鉛垂平面內，若在B端作用一大小為F的水平力，系統處于平衡狀態，試求角φ和ψ的值。

2-18 圖示平面結構由桿OA、AC、BD和BE在連接處相互鉸接而成，已知F=2qa，M=qa2，若不計自重和摩擦，試求固定端O和活動鉸支座B的約束力。

2-1 9 掛在空間物架上的重物重為G=1000 N，物架三桿用光滑球鉸相連。已知BOC為水平面，且△BOC為等腰直角三角形，桿AO的位置如圖所示。試求三桿所受力。

2-20 圖示長方形均質薄板重P=200N，用球鉸鏈A和蝶形鉸鏈B固定在墻上，并用繩CE維持在水平位置。試求繩子拉力及支承約束力。（注意：這里的蝶形鉸約束相當于軸心為y軸的軸承，只有兩個約束力分量。）

2-21 圖示重量為P、長為l的均質直桿AB用兩根與桿等長的相互平行的繩索DA和EB（質量不計）掛在水平天花板上。現在桿上作用一主動力偶，其力偶矩M的方向垂直向上，試求平衡時桿轉過的角度及繩索拉力的大小。

2-22 長2b、寬b的均質矩形板ABCD重量為W，由6根光滑鉸接的二力桿支承在水平位置，受集中力F的作用，如圖所示，不計桿的重量，試求各支承桿的內力。

2-23 組合結構其載荷和尺寸（單位：m），如圖所示。試求各支座約束力和1、2、3、4、5各桿的內力。

2-24 平面桁架的載荷和尺寸如圖所示。試先用節點法求各桿內力，然后用截面法校核桿2、3、4的內力。

2-25 平面桁架的載荷和尺寸如圖所示，試求桿1、2、3的內力。

2-26 平面桁架的載荷和尺寸如圖所示，其中ABCDE H為正八角形的一半，試求桿1、2、和3的內力。

2-27 重為G的物體放在傾角為α的斜面上，物體與斜面間的靜摩擦因數為fs，且tan＞fs，如物體上作用一力F，方向與斜面平行。試求能使物體相對斜面不產生滑動時，F的大小應等于多少？

2-28 如圖所示，在軸上作用一力偶矩為M=1000N·m的力偶，已知制動輪與制動塊之間的摩擦因數fs=0．25，r=0．25m，試問制動時，制動塊對制動輪的最小壓力應等于多大？

2-29 如圖所示，欲轉動放于V形槽的棒料，需作用力偶矩為M的力偶。已知其最小值為15N·m，棒料重為400N，直徑為25cm，試求棒料與槽的摩擦因數fs。

2-30 有人水平地執持一疊書，他用手在這疊書的兩端加壓力F=225N，如圖所示。假設每本書的質量為0．95kg，手與書之間的摩擦因數為0．45，書與書之間的摩擦因數為0．40。試求可能執書的最大數目。

2-31 某人騎自行車以勻速上一坡度為0．05的斜坡，如圖所示。人與自行車的總重量為820N，重心在點G。若不計前輪摩擦，且后輪處于滑動的臨界狀態，試求后輪與路面的靜摩擦因數為多大？若靜摩擦因數加倍，加在后輪上的摩擦力為多大？為什么可忽略前輪的摩擦力？

2-32 如圖所示，軋機的兩個軋輥直徑均為d=500mm，輥面間開度為a=5mm，兩軋輥繞它們的中心轉動的轉向相反，已知燒紅的鋼板與軋輥的摩擦因數fs=0．1，試問能軋制的鋼板厚度b是多少？