致謝

羅杰 · 彭羅斯改變了我對數學和物理學的理解。他的思想如此精準、優美，就像復調音樂的旋律配合。從我 20 歲第一次讀到他的論文開始，這些思想每次都深深地激起我內心審美的愉悅，而類似的感受，只有當我欣賞巴赫的第 101 號康塔塔開場曲和貝多芬的《大賦格曲》時才能體驗到。

從我成為羅杰的學生開始，他用幾何揭開最深層謎團的能力，給我留下了難以忘懷的深刻記憶，于是，一個不可動搖的信念使我終生受益：任何問題都是有幾何解釋的。（后來對牛頓《原理》的研究令我更加深信幾何方法的普適性。）如果沒有這個堅定的信念，就不會有本書，因為，有時為了找到某個特定數學現象的幾何解釋，我要摸索很多年。

能夠算是羅杰的一個朋友，是一件令人高興的事情，也是我 40 年來的一大榮幸。本書并非完美，卻是我的盡心之作，將其獻于羅杰，雖難酬師恩，但可略表我的心意。

為了介紹下一位我應該感謝的人，我不得不坦白一個有些難以啟齒的細節：當我 1989 年第一次從英國來到美國時，我一天要抽兩包香煙。直到 1995 年，我才最終戒掉。這是我做過最困難的一件事，如果沒有尼古丁貼片，我多半會失敗。

作為對我 1997 年出版的《復分析》的響應，在大約五年之后，杜克大學的一位醫學研究者給我寫了一封“好玩的信”。他計劃訪問舊金山灣區，請求與我見面。我忐忑不安地同意了。結果我的客人就是杰德 · 羅斯教授，就是他發明的尼古丁貼片幫助我成功戒了煙，他簡直就是我的救世主！杰德開始是學數學和物理學的，也從未放棄對這兩門學科的熱愛，但是他敏銳地認為，如果將精力轉投醫學研究，他會產生更大影響。我非常高興他真的這樣做了。

2011 年，當我開始寫作本書時，杰德成了我最熱情的支持者，他用醫學發明的資金買斷我的部分教學成果，極大地幫助了我對本書主題的研究，展現了他的慷慨。在本書的 9 年創作時間里（我全家都住在加利福利亞），杰德一直認為我的這項工作很重要，每次來訪，他都能用永遠樂觀的個性和對我的信任鼓舞我。在本書緩慢成形期間，杰德認真閱讀了我的手稿，提出了大量對本書極有益的詳細修改建議，大大為本書增色。由此可見，杰德在三個線性無關的方向上幫助了我，令我感激不盡。此外，我們最初純粹的學術交流關系，逐漸讓兩家人形成了親密溫暖的朋友關系。

我要感謝的下一位重要人物是布朗大學杰出的幾何學家，托馬斯 · 班科夫教授。我設法兩次安排湯姆1（在不同的年度里）來舊金山大學做訪問學者，每次一學期。在這兩個學期里，湯姆對我非常客氣，主動提出要閱讀我的書稿，并且給了我極有價值的反饋。每個星期，他都要閱讀我剛剛打印出來的最新書稿，并用紅筆在頁面空白處寫下他的意見和建議。每個星期五下午，我都會去他的辦公室見他，逐行地詳細討論他的修改建議。可惜，本書剛寫到一半，這樣的合作就結束了。盡管如此，我幾乎采納了他的全部修改建議。我非常感謝他與我分享他在幾何方面的聰明才智和專業知識。

1湯姆是托馬斯的昵稱。——編者注

我還要衷心感謝劉偉博士2（一位從事光學研究的物理學家，希望將來在一個美好日子里見到他）。2019 年，他寫信給我，表達了對《復分析》的欣賞，并附上了他的研究論文3，其中引用了我對龐加萊4 - 霍普夫5定理的處理。這篇論文讓我見識到物理學家如何精彩地應用霍普夫的結果，而霍普夫的漂亮結果似乎已經從數學教科書里消失了。他的結果表明：龐加萊 - 霍普夫定理不僅適用于向量場，也適用于霍普夫的線場6，這大大推廣了向量場的概念，使之可以含有帶分數指數的奇點，這是 19.6.4 節的主題。我們可以用第 247 頁圖 19-14 的例子為證。應我的要求，劉偉博士還將霍普夫思想在物理學中的其他許多應用告訴了我。現在，親愛的讀者，我也與你們分享他的親切教導，見附錄 A。

2位于中國湖南省長沙市的國防科技大學前沿交叉科學學院。

3Chen et al. (2020b)。

4亨利 · 龐加萊（1854—1912），法國科學家，研究涉及代數學、函數論、拓撲學、數學物理、天體力學、科學哲學等許多領域。他是一位才思敏捷、不知疲倦的科學家，以可貴的首創精神與高超的技巧在純數學與應用數學的幾乎所有領域都做出了貢獻，并開拓了一些新領域。他被公認是 19 世紀后四分之一和 20 世紀初的領袖數學家，是對于數學及其應用具有全面知識的“最后一人”。龐加萊在數學方面的杰出工作對 20 世紀和當今的數學產生了極其深遠的影響，他在天體力學方面的研究是牛頓之后的一座里程碑，他在數學物理方面最突出的貢獻在電動力學方面，他被公認為相對論的理論先驅。他還是一位著名的科學哲學家、第一流的法文散文大師。著作有《科學與假設》《科學的價值》《科學與方法》等，文理清晰、風趣深刻，引人入勝，給讀者很深的啟示。在 34 年的學術生涯中，他發表了 30 多卷數學物理與天體力學方面的專著、6 卷科普著作，以及近 500 篇科學論文，榮獲全世界多種獎金與榮譽稱號。——編者注

5海因茨 · 霍普夫（1894—1971），德國數學家，主要研究代數拓撲學。他研究向量場，推廣了萊夫謝茨的不動點公式；研究同倫論，定義了球面之間映射一個同倫不變量，現在稱為“霍普夫不變量”。——譯者注

6這是現代術語，霍普夫（Hopf, 1956）最初稱之為線元場。

除了以上主角外，我（身邊和身在遠方的）許多同事和朋友以各種方式給予了我支持、建議和有用的消息。

我親愛的哥哥蓋伊是我的支柱，我常把他對我的愛和信任當作理所當然的，這太不應該忽略了！

斯坦利 · 內爾和保羅 · 蔡茨是我 30 多年的朋友，他們對我的評價比我對自己的估計還要高，他們多年來的鼓勵對我影響很大，促成了本書。他們鼓勵我首先努力發現所需的幾何洞察力，然后撰寫和繪制這本書。

還有侯世達7，他 20 多年來對我的支持使我深感榮幸。首先，他曾在報紙和采訪中多次大力稱贊《復分析》。其次，他閱讀了我 2014 年的論文（Needham, 2014），并提供了非常有價值的反饋，我最終把這些反饋納入了本書。在我讀本科時，侯世達的《哥德爾、艾舍爾、巴赫8——集異璧之大成》讓我（還有數百萬人）目瞪口呆。

7侯世達（1945—），美國多學科學者。歷經 30 年寫成《哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成》（G?del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid）。通過對比哥德爾的數理邏輯、埃舍爾的版畫和巴赫的音樂，通俗地介紹了數理邏輯學、可計算理論、人工智能學、語言學、遺傳學、音樂、繪畫理論等多方面的內容，獨樹一幟，產生重要影響。——譯者注

8哥德爾（1906—1978），美籍奧地利數學家、邏輯學家、哲學家。他最杰出的貢獻是哥德爾不完全性定理。
　　艾舍爾（一般譯為埃舍爾），見第 xviii 頁腳注 1。
　　巴赫（1685—1750），德國音樂家，被稱為西方復調音樂之父。專業人士認為，他的作品具有深刻性和復雜性，富有感染力，因而影響深遠。他的《十二平均律》是運用極為廣泛的教科書。——譯者注

埃德 · 卡特穆爾博士（他與史蒂夫 · 喬布斯共同創建了皮克斯動畫工作室，后來成為皮克斯和華特迪士尼兩家動畫工作室的總裁）在 1999 年寫電子郵件給我，對《復分析》大加贊賞。一開始，我以為這只是我在舊金山大學里的數學同好在開玩笑，然而這封電郵是真的。埃德邀請我到皮克斯園區（當時還在里士滿角）觀光。他帶著我參觀工作室，陪我出去共進午餐，還給我提供了一份工作！（我將留給讀者去評價，我拒絕了這份工作到底有多愚蠢。）雖然我和埃德的聯系斷斷續續，但他一直是《復分析》的忠實支持者（他在一次采訪中贊揚了《復分析》），還為我申請基金寫過一封推薦信，他非常支持我撰寫本書。我非常感謝埃德多年來的鼓勵，也感謝他在本書英文版封底所寫的非常友好的話語。

弗蘭克 · 摩根教授（之前我只是聽說過他）是普林斯頓大學出版社請來的評審專家，他受邀為本書寫一份匿名評論。但是，當他向我的編輯提交評論時，也把評論以他的名義直接寄給了我。我非常感謝他這樣做了，這使得我現在就可以公開感謝他提出的具體建議和修訂。此外，我特別感謝他的評論大大鼓舞了我當時的士氣。最后，衷心感謝他愿意在本書英文版主頁 vdgf.space 上分享他的慷慨評價。9。

9見本書封底。——編者注

同樣，我也感謝所有其他的匿名評審專家，感謝他們對本書提出的建設性批評、建議和勘誤。我盡力采納了他們所有的改進意見，很抱歉不能對他們一一表達感謝。

感謝 M. C. 埃舍爾公司允許我復制《圓極限 I》的兩個修改版（圖 5-11 和圖 5-12）。后一幅是約翰 · 史迪威做的一個顯式數學變換，在此使用得到了他的慷慨許可。埃舍爾的《圓極限 I》版權信息為 ? 2020,The M. C. Escher Company, The Netherlands.All rights reserved.mcescher 網站。

最后，非常感謝亨利 · 塞格曼教授提供的拓撲笑話（第 223 頁圖 18-8），并允許我在這里復述它。

這是我的第二本書，也是我的最后一本書。因此，我不僅要感謝上面所有直接幫助我寫作本書的人，更要感謝那些在我生命早期影響和支持我的人。有些人早已不聲不響地融入了我生活的各個細節之中，以至于他們一直被忽視了。很慚愧的是，我沒有在《復分析》里恰當地感謝他們，現在是我糾正錯誤的最后機會了。

在這些人中，首先要提到的是安東尼 · 利維，他是我最早的朋友，在牛津大學默頓學院讀本科時我們就在一起。令人費解的是，在我沒有任何值得欣賞的表現之前，安東尼（剛認識時，我叫他托尼）就已經欣賞我很久了。在過去幾十年里，他一直看好我，在我常常陷入數學方面的自我懷疑時，正是他對我的持續信任一次又一次地鼓勵我，幫我度過自我懷疑期。而且，除了純粹的智力問題之外，安東尼的關愛和各方面的明智建議幫助我度過了生命中一些令人焦慮的時刻。

從在默頓學院讀本科的那些日子起，我一直很感激我的兩位物理老師，邁克爾 · 貝克博士（1930—2017）和邁克爾 · 鮑勒博士，他們不僅教會了我許多物理學知識，還請了默頓學院的兩位杰出研究員布賴恩 · 布拉姆森博士和理查德 · 沃德博士專門教我廣義相對論和旋量理論。尤其值得一提的是，布拉姆森博士對科學的熱情特別具有感染力，是他讓我第一次接觸彭羅斯（相對論！）的工作，并促成我申請參加彭羅斯的“相對論小組”，攻讀哲學博士學位。

接下來是我跟著彭羅斯讀博的日子，我想再次感謝我的好朋友喬治 · 伯內特 - 斯圖爾特，他也是彭羅斯指導的學生。在讀博期間，喬治和我合住在大克拉倫登街的一所小房子里。在這幾年里，我們盡情地討論音樂、物理學和數學，喬治幫助我完善了對數學概念本質的認知，提高了對什么是可以接受的解釋的判斷力。不管是好是壞，喬治對我成為今天這樣的數學家有很大的影響。

再往后，就是我在舊金山大學的生活。我要感謝剛剛退休的約翰 · 史迪威和他出色的妻子伊萊恩，作為同事和朋友，我們一起度過了 20 多年快樂而充實的時光。在寫作本書的過程中，我曾多次向他請教，但是讓我受益最多的還是他的許多作品。事實上，我們的關系始于我寫給他的一封“粉絲信”，這封信是對他的巨著《數學及其歷史》第 1 版的回應。幾年后，在擔任科學學院副院長期間，我成功地把約翰從澳大利亞“挖”了過來，在舊金山大學為他設立了一個教授職位。《復分析》和本書在很大程度上歸功于約翰對整個數學領域的全面把握，以及他使用這種視角賦予數學思想意義的能力。還要感謝他，通過許多精彩的著作慷慨地與世界分享他的這些真知灼見。

1996 年，在《復分析》致謝的最后，我寫道：“最后，我要感謝愛妻瑪麗。在我寫這本書時，她容忍我裝作認為科學是一生中最重要的事。現在書已經寫完了，正是她每日每時都向我證明，還有比科學更重要的東西。”20 多年后的今天，我對瑪麗的愛有增無減，而且現在比以前多了兩份日常證明！

1999 年，我和瑪麗有幸生下一對雙胞胎：費絲和霍普10，她倆一直是我們驕傲和快樂的源泉。我很抱歉，本書像烏云一樣籠罩了我女兒們近一半的時光，剝奪了我們在一起的時間。然而，正是這三個靈魂的愛賦予了我生命的意義和目標，并在我寫作本書的漫長、艱辛時光中給予了我支持。

10作者女兒的英文名為 Faith 和 Hope，可見作者的性格。——譯者注