第一幕　空間的本質

第1章　歐幾里得幾何與非歐幾何

1.1　歐幾里得幾何與雙曲幾何

微分幾何是微積分在彎曲空間幾何中的應用。但是，要理解彎曲的空間，我們首先要理解平坦的空間。

我們生活在一個充滿彎曲物體的自然世界里。如果有孩子問“平坦”這個詞是什么意思，我們多半會用“不帶彎曲”來回答：一個沒有隆起或凹陷的光滑表面。然而，最早的數學家就已經被平面的簡單性和均勻性所吸引，他們發現了平面上幾何圖形的一些非常漂亮的性質，其中一些在后來被看作平面平坦性的特征。

在這些性質中，最早被發現意義最深遠的性質之一就是勾股定理。這是一個看似只與數有關的事實：

實際上，它卻具有幾何意義，如圖 1-1 所示。當古人發現它時一定感到了敬畏，當然，今天任何敏感的人也會感到敬畏。

公元前 500 年左右，當畢達哥拉斯還生活在希臘的時候，以他的名字命名的定理1其實早已經在世界幾個不同的地方被發現了。這方面已知最早的例證是在現在的伊拉克出土的巴比倫泥板，上面有大約公元前 1800 年的文字（編目為“普林頓 322”），如圖 1-2 所示。

1勾股定理又稱畢達哥拉斯定理，曾稱商高定理。——編者注

這塊泥板上列出了畢達哥拉斯三元組：整數 2，其中 是直角三角形的斜邊長，直角邊長分別是 和 ，所以 。古人記錄的這些數組中，有些大得難以想象，顯然不是偶然猜出來的，而是利用某種數學過程解出來的。例如，巴比倫泥板第四行記錄的是 。

2事實上，泥板上只記錄了畢達哥拉斯三元組 中的兩個數 。

這些古代結果的背后還隱藏了哪些更為深刻的知識，現在仍不可知。3要找到“現代”數學的邏輯演繹法的第一個證據，必須跳到泥板以后 1200 年左右。學界認為是米利都的泰勒斯4在約公元前 600 年首先開創了從已知結論推導出新結論的思想，其中的邏輯鏈始于少數幾個公認的假設（稱為公設）。

3在 17 世紀，費馬和牛頓重構并推廣了一種生成一般解的幾何方法，原來的方法是丟番圖提出的。見習題 5。

4米利都是古代愛奧尼亞的城市，泰勒斯是古希臘哲學家，他最初生活在米利都。——譯者注

在泰勒斯之后又經過了 300 年左右，在歐幾里得于約公元前 300 年所著的《幾何原本》里，我們找到了這個新方法非常完善的解釋。歐幾里得在《幾何原本》里試圖從僅僅五個簡單的公設（其中最后一個，即第五公設，是關于平行線的）推導出幾何學中的所有結論，從而建立一個清晰、嚴格、有層次的幾何學。

如圖 1-3 所示，歐幾里得第五公設5定義，如果兩條直線不相交，則它們平行。

5歐幾里得不是這樣敘述這個公設的，但與這個敘述邏輯等價。

但是，這個公設的特征比較復雜，不像前四個公設的那樣明顯。于是，數學家們試圖將這個公設“開除”出假設的條件，開始努力證明它只是前四個公設的邏輯結論。

這個令人頭痛的問題在以后的 2000 多年內都未解決。一個又一個世紀過去了，企圖證明平行公設的嘗試一直沒有停止，這種努力的數量和程度到 18 世紀仍有增無減，但都未成功。

在此過程中，還出現了與這個公設等價的一些有用表述。例如，存在不同大小的相似三角形（1663 年沃利斯闡述，見 Stillwell, 2010）。但是，在歐幾里得的《幾何原本》中已經有了它最早的等價表述，即每個三角形的內角和等于兩直角和，如圖 1-3 所示。這也是我們今天還在學校教給孩子的內容。

直到 1830 年左右，尼古拉 · 羅巴切夫斯基和亞諾什 · 波爾約分別宣布發現了全新的幾何形式，這才解釋了為什么所有證明平行公設的嘗試都不成功，從而結束了這個始于近 4000 年前的歷程。這種新的幾何（現在稱為雙曲幾何）是在新定義的一類平面（現在稱為雙曲平面）上的幾何。在這種幾何里，歐幾里得的前四個公設仍然成立，而平行公設不成立了，取而代之的是

這些先驅探討了在這個公設的基礎之上會有哪些邏輯結果。利用純粹抽象的論證，他們在這個全新的幾何里得到了一大批奇妙的結果，這些結果與歐幾里得幾何里的大不一樣，顯得十分怪異。

事實上，在羅巴切夫斯基和波爾約之前，已經有不少人發現了公設 (1.1) 的一些結論，其中最著名要數薩凱里在 1733 年和蘭伯特在 1766 年得到的結果（見 Stillwell, 2010）。但是，他們探討這些結論的目的是要找出矛盾，以便最終證明他們的信念：歐幾里得幾何才是唯一的真幾何。

薩凱里無疑相信自己已經找到了明顯的矛盾，所以出版了《歐幾里得無懈可擊》一書。蘭伯特（見圖 1-4）的情況就復雜得多，他可能是這個故事里的無名英雄。他的結果深入了新的幾何，以至于很可能連他自己有時都不敢相信自己的結果是真實的。不管他的動機和信念是什么6，蘭伯特確實是第一個發現“在公設 (1.1) 下，三角形的內角和不等于 ”的驚人事實7，他的結果是接下來第二幕的核心內容。

6我要感謝羅杰 · 彭羅斯讓我認識到：應該給予蘭伯特更高的評價。彭羅斯在私下交流時說過類似的話：“因為愛因斯坦出于錯誤的理由引入宇宙學常數，我們就可以不把它歸功于他嗎？因為后來愛因斯坦撤銷了它，稱它是‘我一生中最愚蠢的錯誤’，我們就可以羞辱他嗎？廣義相對論本身呢？隨著時間的推移，愛因斯坦似乎越來越不相信廣義相對論就是正確的理論，希望用某種沒有奇異性的統一場論來替代它。”

7這就是后面的事實 (1.8)。

盡管如此，羅巴切夫斯基和波爾約在首先意識到（并完全接受他們發現了）一個全新、一致的非歐幾何上是實至名歸的。但是，對于這個新幾何到底意味著什么，可能有什么用，他們也沒說。8

8羅巴切夫斯基確實運用了這個幾何來計算未知積分，但這個特殊的應用并不重要，至少事后看來是這樣的。

直到 1868 年，意大利數學家歐金尼奧 · 貝爾特拉米終于在他的論文《關于非歐幾何的一個解釋》里令人驚奇地解決了這些受到普遍關注的問題。他具體地解釋了什么是雙曲幾何，成功地為雙曲幾何建立了直觀的穩固基礎，使之從此發展起來并產生了豐富的結果。可惜的是，羅巴切夫斯基和波爾約分別于 1856 年和 1860 年去世，未能活著見到這一切。

在歷史進程中，這門非歐幾何在數學的各個分支中都或多或少地出現過，但總是不那么直截了當。亨利 · 龐加萊是第一個（大約從 1882 年開始）不僅揭開了這門新幾何的偽裝，而且認識到了其作用的人，在復分析、微分方程、數論、拓撲學等各個領域中都發揮了雙曲幾何的威力。在 20 世紀和 21 世紀的數學發展中，雙曲幾何繼續保持著活力和中心地位——瑟斯頓關于三維流形的著作、懷爾斯對費馬大定理的證明、佩雷爾曼對龐加萊猜想（即瑟斯頓幾何化猜想的一個特殊情形）的證明，僅以此三例就足以說明。

我們將在第二幕展示貝爾特拉米的突破性進展，以及雙曲幾何的原理。現在，我們希望討論一種更簡單的非歐幾何。事實上，古人就已經知道了這種幾何。