第一幕　空間的本質(zhì)

第1章　歐幾里得幾何與非歐幾何

1.1　歐幾里得幾何與雙曲幾何

微分幾何是微積分在彎曲空間幾何中的應(yīng)用。但是，要理解彎曲的空間，我們首先要理解平坦的空間。

我們生活在一個充滿彎曲物體的自然世界里。如果有孩子問“平坦”這個詞是什么意思，我們多半會用“不帶彎曲”來回答：一個沒有隆起或凹陷的光滑表面。然而，最早的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)被平面的簡單性和均勻性所吸引，他們發(fā)現(xiàn)了平面上幾何圖形的一些非常漂亮的性質(zhì)，其中一些在后來被看作平面平坦性的特征。

在這些性質(zhì)中，最早被發(fā)現(xiàn)意義最深遠(yuǎn)的性質(zhì)之一就是勾股定理。這是一個看似只與數(shù)有關(guān)的事實：

實際上，它卻具有幾何意義，如圖 1-1 所示。當(dāng)古人發(fā)現(xiàn)它時一定感到了敬畏，當(dāng)然，今天任何敏感的人也會感到敬畏。

公元前 500 年左右，當(dāng)畢達(dá)哥拉斯還生活在希臘的時候，以他的名字命名的定理1其實早已經(jīng)在世界幾個不同的地方被發(fā)現(xiàn)了。這方面已知最早的例證是在現(xiàn)在的伊拉克出土的巴比倫泥板，上面有大約公元前 1800 年的文字（編目為“普林頓 322”），如圖 1-2 所示。

1勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理，曾稱商高定理。——編者注

這塊泥板上列出了畢達(dá)哥拉斯三元組：整數(shù) 2，其中 是直角三角形的斜邊長，直角邊長分別是 和 ，所以 。古人記錄的這些數(shù)組中，有些大得難以想象，顯然不是偶然猜出來的，而是利用某種數(shù)學(xué)過程解出來的。例如，巴比倫泥板第四行記錄的是 。

2事實上，泥板上只記錄了畢達(dá)哥拉斯三元組 中的兩個數(shù) 。

這些古代結(jié)果的背后還隱藏了哪些更為深刻的知識，現(xiàn)在仍不可知。3要找到“現(xiàn)代”數(shù)學(xué)的邏輯演繹法的第一個證據(jù)，必須跳到泥板以后 1200 年左右。學(xué)界認(rèn)為是米利都的泰勒斯4在約公元前 600 年首先開創(chuàng)了從已知結(jié)論推導(dǎo)出新結(jié)論的思想，其中的邏輯鏈?zhǔn)加谏贁?shù)幾個公認(rèn)的假設(shè)（稱為公設(shè)）。

3在 17 世紀(jì)，費(fèi)馬和牛頓重構(gòu)并推廣了一種生成一般解的幾何方法，原來的方法是丟番圖提出的。見習(xí)題 5。

4米利都是古代愛奧尼亞的城市，泰勒斯是古希臘哲學(xué)家，他最初生活在米利都。——譯者注

在泰勒斯之后又經(jīng)過了 300 年左右，在歐幾里得于約公元前 300 年所著的《幾何原本》里，我們找到了這個新方法非常完善的解釋。歐幾里得在《幾何原本》里試圖從僅僅五個簡單的公設(shè)（其中最后一個，即第五公設(shè)，是關(guān)于平行線的）推導(dǎo)出幾何學(xué)中的所有結(jié)論，從而建立一個清晰、嚴(yán)格、有層次的幾何學(xué)。

如圖 1-3 所示，歐幾里得第五公設(shè)5定義，如果兩條直線不相交，則它們平行。

5歐幾里得不是這樣敘述這個公設(shè)的，但與這個敘述邏輯等價。

但是，這個公設(shè)的特征比較復(fù)雜，不像前四個公設(shè)的那樣明顯。于是，數(shù)學(xué)家們試圖將這個公設(shè)“開除”出假設(shè)的條件，開始努力證明它只是前四個公設(shè)的邏輯結(jié)論。

這個令人頭痛的問題在以后的 2000 多年內(nèi)都未解決。一個又一個世紀(jì)過去了，企圖證明平行公設(shè)的嘗試一直沒有停止，這種努力的數(shù)量和程度到 18 世紀(jì)仍有增無減，但都未成功。

在此過程中，還出現(xiàn)了與這個公設(shè)等價的一些有用表述。例如，存在不同大小的相似三角形（1663 年沃利斯闡述，見 Stillwell, 2010）。但是，在歐幾里得的《幾何原本》中已經(jīng)有了它最早的等價表述，即每個三角形的內(nèi)角和等于兩直角和，如圖 1-3 所示。這也是我們今天還在學(xué)校教給孩子的內(nèi)容。

直到 1830 年左右，尼古拉 · 羅巴切夫斯基和亞諾什 · 波爾約分別宣布發(fā)現(xiàn)了全新的幾何形式，這才解釋了為什么所有證明平行公設(shè)的嘗試都不成功，從而結(jié)束了這個始于近 4000 年前的歷程。這種新的幾何（現(xiàn)在稱為雙曲幾何）是在新定義的一類平面（現(xiàn)在稱為雙曲平面）上的幾何。在這種幾何里，歐幾里得的前四個公設(shè)仍然成立，而平行公設(shè)不成立了，取而代之的是

這些先驅(qū)探討了在這個公設(shè)的基礎(chǔ)之上會有哪些邏輯結(jié)果。利用純粹抽象的論證，他們在這個全新的幾何里得到了一大批奇妙的結(jié)果，這些結(jié)果與歐幾里得幾何里的大不一樣，顯得十分怪異。

事實上，在羅巴切夫斯基和波爾約之前，已經(jīng)有不少人發(fā)現(xiàn)了公設(shè) (1.1) 的一些結(jié)論，其中最著名要數(shù)薩凱里在 1733 年和蘭伯特在 1766 年得到的結(jié)果（見 Stillwell, 2010）。但是，他們探討這些結(jié)論的目的是要找出矛盾，以便最終證明他們的信念：歐幾里得幾何才是唯一的真幾何。

薩凱里無疑相信自己已經(jīng)找到了明顯的矛盾，所以出版了《歐幾里得無懈可擊》一書。蘭伯特（見圖 1-4）的情況就復(fù)雜得多，他可能是這個故事里的無名英雄。他的結(jié)果深入了新的幾何，以至于很可能連他自己有時都不敢相信自己的結(jié)果是真實的。不管他的動機(jī)和信念是什么6，蘭伯特確實是第一個發(fā)現(xiàn)“在公設(shè) (1.1) 下，三角形的內(nèi)角和不等于 ”的驚人事實7，他的結(jié)果是接下來第二幕的核心內(nèi)容。

6我要感謝羅杰 · 彭羅斯讓我認(rèn)識到：應(yīng)該給予蘭伯特更高的評價。彭羅斯在私下交流時說過類似的話：“因為愛因斯坦出于錯誤的理由引入宇宙學(xué)常數(shù)，我們就可以不把它歸功于他嗎？因為后來愛因斯坦撤銷了它，稱它是‘我一生中最愚蠢的錯誤’，我們就可以羞辱他嗎？廣義相對論本身呢？隨著時間的推移，愛因斯坦似乎越來越不相信廣義相對論就是正確的理論，希望用某種沒有奇異性的統(tǒng)一場論來替代它。”

7這就是后面的事實 (1.8)。

盡管如此，羅巴切夫斯基和波爾約在首先意識到（并完全接受他們發(fā)現(xiàn)了）一個全新、一致的非歐幾何上是實至名歸的。但是，對于這個新幾何到底意味著什么，可能有什么用，他們也沒說。8

8羅巴切夫斯基確實運(yùn)用了這個幾何來計算未知積分，但這個特殊的應(yīng)用并不重要，至少事后看來是這樣的。

直到 1868 年，意大利數(shù)學(xué)家歐金尼奧 · 貝爾特拉米終于在他的論文《關(guān)于非歐幾何的一個解釋》里令人驚奇地解決了這些受到普遍關(guān)注的問題。他具體地解釋了什么是雙曲幾何，成功地為雙曲幾何建立了直觀的穩(wěn)固基礎(chǔ)，使之從此發(fā)展起來并產(chǎn)生了豐富的結(jié)果。可惜的是，羅巴切夫斯基和波爾約分別于 1856 年和 1860 年去世，未能活著見到這一切。

在歷史進(jìn)程中，這門非歐幾何在數(shù)學(xué)的各個分支中都或多或少地出現(xiàn)過，但總是不那么直截了當(dāng)。亨利 · 龐加萊是第一個（大約從 1882 年開始）不僅揭開了這門新幾何的偽裝，而且認(rèn)識到了其作用的人，在復(fù)分析、微分方程、數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)等各個領(lǐng)域中都發(fā)揮了雙曲幾何的威力。在 20 世紀(jì)和 21 世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展中，雙曲幾何繼續(xù)保持著活力和中心地位——瑟斯頓關(guān)于三維流形的著作、懷爾斯對費(fèi)馬大定理的證明、佩雷爾曼對龐加萊猜想（即瑟斯頓幾何化猜想的一個特殊情形）的證明，僅以此三例就足以說明。

我們將在第二幕展示貝爾特拉米的突破性進(jìn)展，以及雙曲幾何的原理。現(xiàn)在，我們希望討論一種更簡單的非歐幾何。事實上，古人就已經(jīng)知道了這種幾何。