5.7　貝爾特拉米 - 龐加萊圓盤

貝爾特拉米 - 龐加萊上半平面及其度量公式 只是描述抽象雙曲平面 的一種方法，還有其他幾種模型。15雖然從定義上看，所有這些模型在內蘊幾何上都是相同的，但它們在心理上并不相同：某一個特定的事實或公式可能很難在一個模型中看清楚，在另一個模型中卻是顯而易見的。因此，在試圖把握雙曲幾何的奇跡時，善于在不同模型之間轉換是一項很有用的技能。

15詳見《復分析》或 Stillwell (2010)。

我們只準備介紹一個特別有用的著名模型，這個模型是繪制在單元圓盤上的，見圖 5-11。像上半平面一樣，這也是一個共形模型，其中的測地線也被表示成圓弧，與天際線相交成直角，但現在表示無限遠天際線的是這個圓盤的邊界（單位圓）。如果 是一點到圓盤中心的距離，新的度量公式是（見第 105 頁習題 25）

更詳盡的內容請參閱《復分析》或 Stillwell (2010)。你可以借助共形曲率公式 (4.16) 證明［練習］這個曲面具有常負曲率 ，至少可以確認這就是雙曲平面 。

這個模型也是貝爾特拉米首次發現的，與半平面模型一起發表在 1868 年的同一篇論文里，見 Stillwell (1996)。14 年后，龐加萊重新發現了這個模型，使之被廣泛稱為“龐加萊圓盤”。與前面一樣，我們堅定不移地支持將這個模型同時歸功于他們兩位，稱之為貝爾特拉米 - 龐加萊圓盤，或者爭議更少的共形圓盤模型。

1958 年，英國著名幾何學家 H. S. M. 考克斯特（1907—2003）向荷蘭藝術家 M. C. 埃舍爾（1898—1972）介紹了 的共形圓盤模型，由此引發埃舍爾創作出了著名系列版畫《圓極限》16，圖 5-11 就是其中第一張的復制品。這里有意把全圖印得顏色淡一些，把雙曲直線做了加黑突出處理。［這張圖的想法直接來自 Penrose (2005, 圖 2.12)。］從中我們看到，確實有無窮多條雙曲直線通過點 與 不相交，服從雙曲公設 (1.1)。圓的直徑也是雙曲直線，所以圖 5-11 的三角形 是真正的雙曲三角形。注意，明顯可見（而且容易證明），正如它應該的那樣。

16可以在網上找到一個短視頻，其中考克斯特親自講解了這些埃舍爾結構中的數學。

當你盯著圖 5-11 看的時候，試著把自己想象成其中的一條魚。你的大小和形狀與其他的魚完全一樣，你可以永遠沿著一條直線游泳，不會看到周圍環境或其他魚的任何變化。但從外面看地圖，距離的壓縮會讓你看起來像是在沿著一條圓形路徑繞圈，并且在前進的過程中不斷縮小。事實上，如果 是圖 5-11 中所示魚到天際線的歐幾里得距離，我們看一下靠近地圖邊緣的一點，會發現式 (5.15) 意味著［練習］(魚的表觀大小) 。

在第 105 頁習題 25 中你會看到，實際上有一個簡單的共形變換，可以將這個新圓盤模型與之前講過的共形半平面模型聯系起來，從而解釋新圓盤模型的共形性。利用計算機做這個變換，可以將圖 5-11 變成圖 5-12，后者不是埃舍爾本人的創作，但他肯定會很欣賞這張圖的。［此圖經許可從 Stillwell (2005, 第 195 頁) 復制而來。］

讓我們停下來喘口氣，回顧一下我們已經走了多遠吧。我們在本書開始時講的故事17已經有了一個圓滿的結局，算是結束了吧。2000 多年來，圍繞平行公設的困惑和懷疑一直困擾著歐幾里得幾何學。現在，貝爾特拉米給出了對雙曲幾何學的具體解釋，作為一種合理的選擇，數學界持續了 2000 多年的壓抑終于得以暢快宣泄。這真是結束第二幕的好地方！

17完整故事見 Gray (1989)。

也可能不是……