5.6　平行角

現(xiàn)在我們回到起點，看看雙曲公設(shè) (1.1)。在掌握了雙曲平面上測地線的形狀后，從圖 5-9 可以清楚地看到：在雙曲平面上確實存在無窮多的直線（以短劃線表示）13，它們經(jīng)過點 ，而且不與直線 相交。我們稱這樣的直線超平行于 。這就直觀地驗證了雙曲公設(shè)。

13這里及下文所說的“直線”是偽球面上的測地線在貝爾特拉米 - 龐加萊半平面上的像，即半圓周或半直線。——譯者注

從圖 5-9 還可以看到，在雙曲平面上，有且只有兩條直線在雙曲平面內(nèi)沒有與 相交，而是在天際線上與 相交，它們恰好是所有與 相交的直線和所有超平行線的分界線。這兩條線稱為 的漸近線14。

14通常也稱為平行線。

從圖 5-9 還可以清楚地看到，如同在歐幾里得幾何中一樣，只有一條經(jīng)過點 的直線 （虛線）與 垂直相交（交點為 ）。有了垂線 ，就可以按照通常的方式定義點 到直線 的距離，即 上線段 （雙曲的，如 ）的長度 。

事實上，如圖 5-9 所示，過點 的兩條漸近線有一個夾角， 就是這個夾角的平分線，這在目前還不是很明顯。 與任意一條漸近線的夾角稱為平行角，通常記為 。當(dāng)直線 繞點 旋轉(zhuǎn)時，它與 的交點會向天際線 （即無窮遠(yuǎn)處）移動， 能告訴你 旋轉(zhuǎn)多遠(yuǎn)就可以不與 相交了。

羅巴切夫斯基和波爾約都發(fā)現(xiàn)，角 與點 到直線 的雙曲距離 之間存在重要的關(guān)系：

上式稱為波爾約 - 羅巴切夫斯基公式。

因此，如果 接近 ，則 ，類似于歐幾里得幾何的結(jié)果幾乎也成立：從點 出發(fā)的射線（半直線）大約有一半最終會與直線 相交。當(dāng)然，在歐幾里得幾何里，無論點 距離直線 多遠(yuǎn)，從點 出發(fā)的射線都有一半會與直線 相交。但是，在雙曲平面上就不一樣了，當(dāng)點 逐漸遠(yuǎn)離直線 時，從點 出發(fā)的射線與直線 相交的比例會減少到 ！這個現(xiàn)象，從圖 5-9 可定性地看出，從式 (5.14) 可定量地看出。

必須認(rèn)識到，偽球面或真正雙曲平面上的微觀居民無法看出測地線之間有什么差別——每一條直線（即測地線）都是一樣的。因此，在內(nèi)蘊幾何里，地圖上表現(xiàn)為縱向半直線的測地線與表現(xiàn)為半圓的測地線是完全不可區(qū)分的。

但是，半圓在天際線上有兩個端點，縱向半直線在天際線上似乎只有一個端點，這是怎么回事呢？答案是，除了天際線上的這些點，在無窮遠(yuǎn)處還有一個點，所有的縱向半直線都在此處相交。由模型 (5.8) 可知，當(dāng)我們沿著兩條相鄰的縱向半直線向上移動時，它們之間的距離隨著 趨于 ，并且它們在無窮遠(yuǎn)處收斂到一個單點。這在偽球面上尤為明顯。

在強調(diào)雙曲平面上的兩種直線在數(shù)學(xué)上相同之后，我們現(xiàn)在來個 180 度的大轉(zhuǎn)彎，強調(diào)它們在心理上是不同的。也就是說，站在這個非歐幾何的世界之外，通過我們的地圖往里看，我們可能會發(fā)現(xiàn)，某些數(shù)學(xué)關(guān)系在縱向半直線的情況下更容易看清楚，因為這種情況比半圓周的情況更簡單（但不太典型）。

使得這個想法真正有用的是雙曲平面 上剛體運動（例如，繞點 旋轉(zhuǎn)）的存在性。這種保持距離不變的運動稱為等距變換，它是下一章的主題。現(xiàn)在，注意到雙曲平面也有等距變換，可以通過適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)（剛性移動）雙曲平面，使得其中的半圓形測地線變成縱向半直線形的測地線。

例如，回到圖 5-9，我們可以將 繞 旋轉(zhuǎn)，直到 變成縱向半直線，成為圖 5-10 所示的情況，這種形式更簡單。容易驗證圖 5-10 中標(biāo)記的角度［練習(xí)］，由此可以看出 是點 兩條漸近線夾角的平分線。這意味著，在我們做旋轉(zhuǎn)之前，當(dāng)圖 5-9 中的 在一般位置時， 確實是角平分線。

同樣，這幅新圖上更簡單的幾何關(guān)系也使得我們更容易證實波爾約 - 羅巴切夫斯基公式 (5.14) 的正確性，詳情請參閱《復(fù)分析》6.3.6 節(jié)。