5.5　利用光學(xué)來求測(cè)地線

本節(jié)將利用物理學(xué)觀點(diǎn)（特別是光學(xué)觀點(diǎn)）8來解釋雙曲幾何模型中的測(cè)地線為什么在貝爾特拉米 - 龐加萊半平面上是半圓形的。我們的靈感來自于 1662 年發(fā)現(xiàn)的費(fèi)馬原理9

8這種方法似乎并不廣為人知。感謝謝爾蓋 · 塔巴奇尼科夫向我指出：先前是金迪金發(fā)表了這個(gè)方法（Gindikin, 2007, 第 324 頁）。使用費(fèi)馬原理來求解極小化問題（即尋找使某些量最小化的路徑）的基本思想可以追溯到 1697 年約翰 · 伯努利對(duì)捷線問題（又稱最速降線問題）的解。

9首先，這就是那個(gè)著名的皮埃爾 · 德 · 費(fèi)馬（1601—1665）發(fā)現(xiàn)的，他因數(shù)論發(fā)現(xiàn)（包括費(fèi)馬大定理）而聞名于世。其次，費(fèi)曼發(fā)現(xiàn)，這個(gè)原理有一個(gè)完美的量子力學(xué)解釋，關(guān)于這一點(diǎn)的精辟論述見 Feynman (1985)。［理查德 · 菲利普斯 · 費(fèi)曼（1918—1988），美籍猶太物理學(xué)家，量子領(lǐng)域的開拓者之一，1965 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主。費(fèi)曼多才多藝（例如破解瑪雅象形文字，他還是優(yōu)雅的舞蹈者和手鼓演奏者），特別善于用深入淺出的語言表達(dá)復(fù)雜的原理，用巧妙的類比解釋深刻的物理思想。費(fèi)曼曾獲得很多獎(jiǎng)項(xiàng)和頭銜，他自己特別看重的是 1972 年獲得的奧斯特教育獎(jiǎng)?wù)隆Ｋ闹v課錄音被整理成《費(fèi)曼物理學(xué)講義》（Feynman et al., 1963），成為經(jīng)典。——譯者注］

我們將從牛頓式推理10開始對(duì)物理學(xué)進(jìn)行短暫的探索，看看如何通過對(duì)費(fèi)馬原理的幾何分析來解釋當(dāng)光線從空氣進(jìn)入水中時(shí)為什么會(huì)突然彎折（稱為折射）。這解釋了為什么［練習(xí)］當(dāng)你把勺子放入一杯茶時(shí)它看起來是彎折的。

10我們意識(shí)到，在這里，我們只是重走了一遍費(fèi)曼走過的路，見 Feynman et al. (1963, 第 1 卷, 26-3 節(jié))，我們?yōu)榇烁械綐s幸。費(fèi)馬先給出解析證明，后來又給出幾何證明，但都不如現(xiàn)在的牛頓式論證優(yōu)雅。費(fèi)馬的兩個(gè)證明可以在 Mahoney (1994, 第 399-401 頁) 找到。

在圖 5-6 中，一束光線從 點(diǎn)出發(fā)，以與鉛垂線夾角為 的方向，在空氣中以速度 傳播，并到達(dá)水面上的 點(diǎn)。然后，光線被折射成與鉛垂線夾角為 的方向在水中繼續(xù)傳播，速度降低為 ，最后到達(dá)水中的 點(diǎn)。早在公元 130 年，托勒密就做過這樣的實(shí)驗(yàn)，并且編制了一張相當(dāng)精確的角度 和 對(duì)照表。但是，托勒密沒有弄清楚這兩個(gè)角度之間的精確數(shù)學(xué)關(guān)系，在接下來的幾個(gè)世紀(jì)里，科學(xué)家們也一直沒弄清楚這個(gè)關(guān)系。

最后，荷蘭數(shù)學(xué)家維勒布羅德 · 斯涅爾（1580—1626）在 1621 年發(fā)現(xiàn)了正確的規(guī)律，現(xiàn)在普遍稱為斯涅爾定律11：

11和往常一樣，歷史遠(yuǎn)比從名字上看到的情況復(fù)雜得多。前面提到過的托馬斯 · 哈里奧特比斯涅爾早近 20 年發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定律，但是，與哈里奧特的絕大部分發(fā)現(xiàn)沒有公開一樣，這個(gè)定律的發(fā)現(xiàn)也沒有公開，他僅寫信告訴了開普勒。然而，這次就連哈里奧特也被打敗了——被打敗了 600 多年！伊斯蘭數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家伊本 · 薩爾在公元 984 年發(fā)表了這一理論，甚至用它來設(shè)計(jì)復(fù)雜的合成透鏡。

這個(gè) 值（稱為折射率）依賴于界面兩邊的物質(zhì)，對(duì)于空氣/水界面，。

為什么光線會(huì)在界面處發(fā)生彎折，至少在定性上利用費(fèi)馬原理可以說得清楚。如果光線沿直線從 走到 ，那么它就會(huì)浪費(fèi)寶貴的時(shí)間在水中相對(duì)緩慢地傳播，而不是在空氣中快速傳播。12定量地說，當(dāng)時(shí)間（關(guān)于位置 ）的導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)使傳播時(shí)間最小化所需的彎折量。

12光在空氣中的傳播速度快，在水中的傳播速度慢。從空氣中的 點(diǎn)到水中的 點(diǎn)，走直線在水中的路線比走折線在水中的路線長(zhǎng)，于是用時(shí)較多。——譯者注

從幾何角度來看，如果 的位置使得光線傳播耗時(shí)最小，那么，當(dāng) 點(diǎn)發(fā)生無限小的位移 時(shí)，耗時(shí)（關(guān)于一階的 ）應(yīng)該不會(huì)變化。但是，正如我們?cè)趫D 5-6 中看到的，這個(gè)位移導(dǎo)致光在空氣中傳播的路線增加了一段，增加的一段長(zhǎng)度最終等于 ，因此多耗時(shí) 。此外，光在水中傳播的路線縮短了，減少的耗時(shí)最終等于 。因?yàn)楹臅r(shí)的凈變化為 ，所以這兩個(gè)單獨(dú)的耗時(shí)變化必須相等。因此，消除 后，

這不僅證明了斯涅爾定律 (5.10)，而且做出了一個(gè)物理預(yù)測(cè)，這個(gè)預(yù)測(cè)在直接實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)：折射率是兩種材料中的光速之比，。

如圖 5-7 所示，假設(shè)水在一個(gè)玻璃杯的底部。光線從空氣中出發(fā)，穿過水層，到達(dá)杯子底部的玻璃內(nèi)，會(huì)如何彎折呢？假設(shè)光線在玻璃內(nèi)的傳播速度為 ，就有同樣的定律

更一般地，如果我們有一個(gè) 層的復(fù)合材料，水平鋪設(shè)的每一層單質(zhì)都很薄，光在第 層單質(zhì)的傳播速度為 ，則光在復(fù)合材料中的傳播服從定律：

常數(shù)

更進(jìn)一步，想象光通過一塊非均質(zhì)材料，其密度在每一個(gè)水平面 常數(shù) 上都是相同的，并且隨著 連續(xù)變化。在高度 處的光速為 ，在高度 處的光線入射角為 （與界面法線的夾角）。那么，廣義斯涅爾定律是

你可能會(huì)說：這些都很有趣，但這和證明雙曲平面中的測(cè)地線都是半圓周有什么關(guān)系？！好吧，現(xiàn)在回頭再看看圖 5-5，假設(shè)偽球面上的點(diǎn) 和 對(duì)應(yīng)于雙曲平面 上的點(diǎn) 和 。想象一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿著偽球面上的不同路徑，以恒定不變的速度（比如 ）從 運(yùn)動(dòng)到 。質(zhì)點(diǎn)在偽球面上的這些運(yùn)行路徑在雙曲平面上也有對(duì)應(yīng)的從 到 的路徑，但質(zhì)點(diǎn)的速度不均勻：從圖 5-5 可以看到，如果質(zhì)點(diǎn)在偽球面上以恒定的速度向下移動(dòng)，雙曲平面上對(duì)應(yīng)像點(diǎn)的移動(dòng)會(huì)減慢。

關(guān)鍵在于地圖是共形的，所以速度減慢只取決于質(zhì)點(diǎn)所在的位置，而與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向無關(guān)。假設(shè)我們以單位速率從 點(diǎn)向四面八方發(fā)射出大量的質(zhì)點(diǎn)，在無窮小時(shí)間 后，這些質(zhì)點(diǎn)在偽球面上會(huì)形成一個(gè)圓心為 、半徑為 的圓圈。由模型 (5.8) 可知，這個(gè)圓圈在雙曲平面上的像是一個(gè)圓心為 、半徑為 的圓圈，其中 是的 高度。換句話說，從點(diǎn) 射出的質(zhì)點(diǎn)速度為 ：離天際線越近，質(zhì)點(diǎn)速度越慢。

質(zhì)點(diǎn)在偽球面上從 到 的任意路線上花費(fèi)的時(shí)間當(dāng)然與在雙曲平面上從 到 的對(duì)應(yīng)路線上花費(fèi)的時(shí)間是相同的。偽球面的測(cè)地路徑是兩點(diǎn)之間的最短路線，也是耗時(shí)最少的路線，所以，雙曲平面上的測(cè)地線也是從 到 的最快路線：雙曲平面上沿測(cè)地線的運(yùn)動(dòng)當(dāng)然服從費(fèi)馬原理，所以雙曲平面上測(cè)地線的形狀由廣義斯涅爾定律決定！將 代入式 (5.12)，在圖 5-8 中答案就清晰可見了：

在 11.7.5 節(jié)，我們還要給出這個(gè)重要事實(shí)（基于角動(dòng)量）的第二個(gè)物理解釋。