第6章　等距變換和復數

6.1　引言

偉大的數學思想不僅使得過去的謎團不再神秘，還會揭示新的謎團：甘盡苦來！我們現在就要看一看微分幾何與數學其他領域以及物理學之間的新奇聯系。

這些新奇聯系中的第一個是三種常曲率幾何（歐幾里得幾何、球面幾何和雙曲幾何）和復數之間的聯系。

我們曾要求你想象在復平面上繪制曲面的地圖。然而，敏銳的讀者會注意到，到目前為止，我們很少使用復數的基本結構。這種情況馬上就要改變了。但是，我們首先需要對等距映射的概念做一些更一般的考察。

等距映射一定保持每個角的大小不變，其中還保持角的方向（順時針或逆時針）不變的映射稱為正向的，使得角的方向反轉的映射稱為反向的。因此，正向的等距變換是一種非常特殊的共形映射，反向的等距變換是一種非常特殊的反共形映射。例如，在平面上，旋轉是正向的等距變換，而關于一條直線的反射變換1是反向的等距變換。

1俗稱“鏡像變換”。——譯者注

接下來我們觀察到，關于復合運算，

為了證實這一點，設 (什么都不做) 2，并設 為 的任意三個等距變換，則 滿足以下群的公理。3

2即恒等變換。——譯者注

3“群”這個數學概念就是用這些公理定義的。如果你之前沒有遇到過這個概念，現在就簡單地接受下列公理作為群的定義。

? 由于 顯然保持距離不變，所以 。而且，因為 ，我們推斷 是群的單位元。

? 如果我們先做變換 ，然后再做變換 （兩者都保持距離不變），那么兩者的復合變換也保持距離不變：。

? 由于變換 保持距離不變，其逆變換也保持距離不變，所以 。

? 多個（不一定是等距的）變換的復合服從結合律：。

請注意，正向等距變換和反向等距變換的復合運算具有類似 和 的乘法的規律：，，。由此可見，

然而，反向等距變換根本不會構成一個群。4但它們確實屬于全群 ，那么，它們與 有什么關系呢？

4兩個反向等距變換的復合是一個正向等距變換，也就是說，反向等距變換子集合對于乘法（復合映射）不封閉，所以不可能構成子群。——譯者注

給定反向等距變換 ，它的逆映射 也是反向等距變換。設 是任意一個反向等距變換——想象它可以取遍所有可能的反向等距變換。那么，。同理，。因此，

每個曲面 是否都具有非平凡的等距變換群 呢？答案是否定的，因為等距變換也必須保持曲率不變。假設一個等距變換將點 處的一個非常小（最終為零）的三角形 映射到點 處的一個全等三角形 ，則

由此可知，曲頸南瓜（如圖 1-9 所示）這樣的非正則曲面沒有（非平凡的）等距變換。5

5我還沒有想清楚如何精確地量化使得等距變換不存在的不規則程度。一個起點可能是觀察以下事實：如果 的值在 處唯一，那么 一定是任何等距變換（如果存在）的不動點——它無處可去！（因為等距變換保持曲率不變。）三個這樣的點將導致三個不動點，我想這就排除了非平凡的等距變換。

然而，存在等距變換的曲面 不一定是常曲率曲面。6例如，任何旋轉曲面都存在等距變換。正是由于旋轉曲面的結構，這種（典型的）非常曲率曲面的確存在等距變換群。事實上，繞旋轉曲面的軸的旋轉是正向等距變換，關于過旋轉曲面的軸的平面的反射是反向等距變換。也可能存在其他的等距變換。

6我們關心的是存在無窮多等距變換的連續集合，但是也有僅存在有限個等距變換的情形，甚至是光滑的曲面。例如，骰子（棱和角都磨圓了的立方體）的對稱性就很好，僅具有有限的等距變換。

曲面 的對稱性越大，曲面上的等距變換群就越大，對稱性最大的三種情況就是具有常曲率的三種曲面：， 和 。在外在幾何里，具有這種幾何性質的典型曲面是歐幾里得平面、球面和偽球面。然而，等距的概念屬于內蘊幾何。例如，雙曲平面 的貝爾特拉米 - 龐加萊半平面地圖事實上比偽球面更好地描述了雙曲幾何。下面的討論就與這個地圖（或共形圓盤模型）有關。

我們先簡要地陳述這三種對稱性最大的幾何與復數之間令人驚奇的聯系，稍后再詳細討論。主要結果：