2.3　局部高斯 - 博內定理

回顧哈里奧特于 1603 年在球面上得出的結論 (1.3)：三角形的角盈等于曲率乘以三角形的面積。我們可以將角盈理解為三角形內曲率的總量。

高斯在 1827 年的論文《關于曲面的一般研究》中首次闡述了局部11高斯 - 博內定理。后來，這個定理被令人驚奇地推廣到了具有可變曲率的一般曲面上的一般測地線12三角形 ，參見圖 2-7。這個定理說的是，三角形的角盈就是三角形內的總曲率：

11這里的“局部”不是指無窮小鄰域，而是區別于后面的“全局”高斯 - 博內定理，后者適用于整個閉曲面。

12博內在 1865 年將這個定理推廣到適用于非測地線三角形，它因而被命名為高斯 - 博內定理。我們將在第四幕結束時（第 386 頁習題 6）證明這個定理最一般的情形。

當曲面為球面時，，代入式 (2.6) 就得到了哈里奧特公式 (1.3) 作為特殊情形。

為了明白這一點，首先回顧曲率的最初定義 (2.1)。當三角形 在曲面 上收縮到一點 時，

關鍵是，角盈是可加的。

在圖 2-8a 中，從三角形 的一個頂點到對邊任意一點作測地線（短劃線），將三角形 分割成兩個測地線三角形 和 。注意到 ，我們有

所以

這些分割后的子三角形可以再次分割，并且繼續分割下去，如圖 2-8b 所示。于是，由角盈的可加性，得到 。隨著分割越來越細，每個小三角形 內的曲率變化越來越小，趨于常值 。根據式 (2.7)，取極限得 。根據積分的定義，就得到了局部高斯 - 博內定理 (2.6)。