第3章　序幕和第一幕的習題

序幕：牛頓的最終相等（）

1. （這是一個展示如何從序幕里定義的“最終相等”變為相等的模型。）畫一個邊長為 的立方體，其體積為 。然后，保持這個立方體的一個頂點不變，將立方體畫得稍大一些，使得邊長為 。記這樣引起的體積增量為 ，用這個圖推導：當 趨于 0 時，

因為最后一個最終相等的式子兩邊的量都與 無關，所以它們相等：

2. 此題來自 Needham (1993)。令 ，。在 上畫一個單位圓，在第一象限的單位圓周上畫出點 。讓 點繞原點旋轉一個（最終為 0 的）小角度 。以 點為頂點，以 和 為邊，畫一個小三角形。利用在序幕里介紹的牛頓的幾何論證，立即可以同時推導出

　　　且　　　

3. 此題來自 Needham (1993)。在 的第一象限上任取一點 ，令 是經過點 的直線， 是 軸、 軸和 圍成的三角形的面積。

(i) 利用通常的微積分方法求出使得 最小的 的位置，并證明 。

(ii) 利用牛頓的推理，在不計算的情況下，立即求出其解。［提示：讓 旋轉一個（最終為 0 的）小角度 ，記旋轉后改變的面積為 。將 畫成兩個小三角形，可以看到這兩個小三角形分別最終等于兩個小扇形，用 寫出 最終相等的表達式。再令 。］

4. 此題來自 Arnol'd (1990, 第 28 頁)，原題包含解答。計算極限

(i) 利用你能想到的任何傳統方法。（如果不提醒你這道題不容易，那就是我們的過錯了。阿諾爾德曾說：能很快解出這道題的數學家只有菲爾茲獎獲得者格爾德 · 法爾廷斯1。）

1格爾德 · 法爾廷斯（1954— ），德國數學家，他利用代數幾何方法證明了數論中的莫德爾猜想，于 1986 年獲得菲爾茲獎。莫德爾猜想（美國數學家路易斯 · 莫德爾在 1922 年提出）：任何不可約、有理系數的二元多項式，當其虧格不小于 2 時，至多只有有限個解。——譯者注

(ii) 利用牛頓的幾何推理。