2.2　圓的周長和面積

為什么 這么重要？顯然，它在某種程度上控制著小三角形，但幾何中有很多東西不是三角形。答案是，在我們（暫時）選擇用小三角形來定義 的過程中，將逐步發現曲率是幾何中的“鐵腕人物”，它完全決定了曲面上所有方面的幾何性質。現在來看兩個例子吧。

在圖 1-9 中，我們講過在曲面上定義“以 為圓心，以 為半徑的圓”的方法：取長度固定為 的測地線段 ，讓端點 繞著定點 轉一圈。接下來，我們在半徑為 的大球面上作這樣一個圓周，并計算這個圓周的周長。

如圖 2-4 所示，我們有

且 .　　　　　　(2.3)

正如曲率支配著三角形內角和與 （歐幾里得空間中的值）的偏離一樣，曲率也支配著圓的周長 與 （歐幾里得空間中的值）的偏離。為了看清楚這一點，我們回顧一下正弦函數的冪級數：

當 趨于 0 時，我們有

（再次提醒讀者： 表示牛頓的最終相等概念，在序幕中介紹過。）由式 (2.3) 知，當 趨于 0 時有

也就是說，生活在 上的居民，以前是通過測量小三角形的內角和來判斷所在世界的曲率的，現在可以通過測量小圓周的周長來判斷，這也很容易：

值得注意的是，我們將在第四幕中展示：測量一般曲面上的高斯曲率也用這個公式！［驗證一下分母中 的冪：我們知道 的量綱是 1/(長度)²，周長的量綱是 (長度)，所以分母的量綱應該是 (長度)³。］

繼續討論這個例子，以這個圓周為邊界有一個球冠，我們來看看這個球冠的面積 。又是曲率支配著圓的面積與 （歐幾里得空間中的值）的偏離。利用球冠的面積公式（見第 98 頁習題 10）不難證明［練習］：

我們再次指出這個公式是通用的。［這里分母的量綱是 (長度)⁴。］

雖然現在還不能證明式 (2.4) 和式 (2.5) 的普遍性，但至少可以看出：它們確實對一個不均勻曲面上的每個點都給出了正確的正負號，如圖 1-9 所示。如果曲面在一點的附近是正向彎曲的（向外凸起為正的），那么曲面在該點附近呈山峰的形狀（就像圖 1-9 中的 區域）。以這個點為中心的圓因彎曲而受到擠壓，使得它的周長和面積都比在平坦的歐幾里得平面上的周長和面積小。于是，由以上兩個公式可得 ，這正是應該出現的結果。

如果在一點附近的曲面是鞍形的，就會出現相反的情況。回顧我們對圖 1-9 的討論：在曲面的鞍形部分（ 所在的部分）畫圓，就有 。要弄清這一點，就站起來，平伸出一只手臂。當你繞著腳跟旋轉一圈時，你的手指尖會畫出一個水平的圓圈。現在再旋轉一圈，但這次同時上下擺動你的手臂，顯然這一次你的手指尖運動的距離比以前更長了。這樣，手指尖上下擺動的軌跡就相當于在鞍形曲面上畫了一個圓。于是，由以上兩個公式可得 ，這也是應該出現的結果。

我們說過曲率是幾何中的“鐵腕人物”，具有絕對的決定性作用，但是，它的決定性作用到底有多大呢？例如，如果知道曲面的一片具有常正曲率 ，那么它是否一定是半徑為 的球面的一部分？把一個乒乓球切成兩個半球，輕輕捏一下其中一個半球。顯然，我們得到了一個非球形曲面上的一片。但是，因為我們沒有改變曲面內的距離，所以曲面上的測地線和角度不變，根據式 (2.1) 定義的曲率也不變。這樣，我們肯定會得到一片具有常曲率的曲面，盡管它與球面具有相同的內蘊幾何性質，但它在外在幾何上已不是球面了。

圖 2-5 說明，即使只考慮旋轉曲面，球面也不是唯一具有常正曲率的曲面。事實上，存在一族這樣的曲面，球面只是圖 2-5 所示兩種曲面的極限情形7（見第 103 頁習題 22）。雖然這些曲面不是球面，但是生活在這些曲面上的“智慧螞蟻”無法察覺，只不過它們最終可能會發現這個世界的盡頭存在邊緣或尖端。1899 年，海因里希 · 利布曼證明了8，如果一個具有常正曲率的曲面不存在尖端或邊緣，它就一定是球面。

7圖 2-5 所示的兩種曲面都是圓周上一段小于半圓的弧旋轉一周生成的曲面。左邊曲面的旋轉軸是圓弧端點的連線，因為圓弧兩端與旋轉軸相交，所以有兩個尖端；右邊曲面的旋轉軸是圓的直徑，因為圓弧上端與旋轉軸不相交，所以有邊緣。當把圓弧加長為半圓時，圓弧端點的連線就是圓的直徑，于是兩個旋轉軸合并為一體。這時旋轉生成的曲面就是球面，沒有尖端或邊緣了。——譯者注

8證明在 38.11 節給出。

如果忽略表面上的外在差異，兩個具有相同常正曲率 的曲面是否具有實質上不同的內蘊幾何？說得更通俗些，如果我們突然把“智慧螞蟻”從一個曲面運到另一個曲面上，它能否設計一個實驗來驗證它的世界發生了改變？1839 年，明金（高斯為數不多的學生之一）給出了否定的答案。明金發現9，如果兩個曲面具有相同的常正曲率 ，則它們的內蘊幾何都與半徑為 的球面局部一致。

9證明在第四幕（第 386 頁習題 7）給出。

我們已知圖 2-2 中救生圈的內沿具有負曲率，但不是常負曲率。事實上，如果 是救生圈接觸地面的那個圓周，它會將救生圈分割成內半圈和外半圈。顯然，當點 從內半圈趨近 時，曲率 從負值趨于 0；當點 越過 進入外半圈時，曲率就變成正值了。（將在第 104 頁習題 23 中詳細討論。）

事實上，確實存在具有常負曲率的曲面。歐金尼奧 · 貝爾特拉米（我們很快就會講到他）稱所有這種曲面為偽球形曲面，其中最簡單的例子是偽球面10，如圖 2-6 所示。（偽球面由曳物線旋轉生成，牛頓在 1676 年首次研究了曳物線。第二幕將詳細討論偽球面的精確構造。）如果偽球面底圓的半徑為 ，則整個曲面具有常負曲率 ，稍后我們將證明這一點。

10也稱為曳物面，是惠更斯在 1693 年首先提出的。見 Stillwell (2010, 第 345 頁)。

糟糕的是，這個曲面有點名不副實。正如你看到的，它并不像球面那樣是封閉的，但該名稱確立已久，無法更改。本書后面會證實，不存在封閉的偽球形曲面。此外，當偽球面向上無限延伸時，會遇到一個圓形邊緣。事實證明，偽球面不可能越過這個邊緣而保持負曲率不變。1901 年，大衛 · 希爾伯特證明了，將一個具有常負曲率的曲面嵌入普通三維歐幾里得空間，肯定會有一個邊緣使得曲面不能越過這個邊緣繼續延伸。

明金的結果也適用于這種情形：如果兩片曲面具有相同的常負曲率 ，則它們的內蘊幾何都與半徑為 的偽球面一致。

總之，如果曲面具有（正的或負的）常曲率 ，則這個數（曲率）完全決定了該曲面的內蘊幾何。

更一般地，具有變化曲率的曲面情況如何？曲率的影響力仍然很大，但不再是絕對的：兩個曲面可能在所有對應點處都具有相同的曲率，卻有不同的內蘊幾何。（第 260 頁習題 19 就是一個具體的例子。）