1.6　空間的本質

我們回顧一下發現非歐幾何（球面幾何和雙曲幾何）的歷史，看看這兩門新幾何與歐幾里得幾何有什么不同。

我們已經說過，歐幾里得幾何的特點是角盈 為 0。請注意，與平行公設的原始表述不同的是，這個命題可以用實驗加以驗證：構作一個三角形，測量其內角，看看它們加起來是否等于 。物理空間是否有可能不是歐幾里得空間？高斯可能是第一個想到這個問題的人，他甚至嘗試用實驗來驗證這個問題。他用三個山頂作為三角形的頂點，用光線作為三角形的邊。

在儀器允許的精度范圍內，他發現 。完全正確？！高斯沒有因此就認為物理空間在結構上絕對是歐幾里得空間，而是得出結論：如果物理空間不是歐幾里得空間，那么它與歐幾里得幾何的偏差是非常小的。高斯確實看得很遠，他說（見 Rosenfeld, 1988, 第 215 頁）自己希望這門非歐幾何可以適用于現實世界。在第四幕中我們將看到這是先見之明。

盡管高斯曾向朋友們吹噓，他在幾十年前已經預見到羅巴切夫斯基和波爾約的雙曲幾何，但他可能也沒有意識到自己已經在無意中發現了非歐幾何的一些核心結果。

1766 年（高斯出生前 11 年），蘭伯特重新發現了哈里奧特在球面上的結果，然后依據雙曲公設 (1.1) 將球面上的結果推廣到了雙曲幾何這個全新的領域。首先，他發現雙曲幾何中的三角形（如果真的存在這樣的三角形）與球面幾何中的三角形相反。

? 在球面幾何中，三角形的內角和大于 ：。

? 在雙曲幾何中，三角形的內角和小于 ：。

因此，雙曲三角形表現得就像繪制在鞍面上的三角形，例如圖 1-9 中的 。稍后我們將看到這一點兒也不意外。

其次，蘭伯特還發現了一個關鍵事實，那就是在雙曲幾何中 與 的比也是常數：

由此不難得出以下有趣的結論。

? 存在無窮多種球面幾何，它們之間沒有本質性差別，只依賴于不同的正常數 。同樣，對應于不同的負常數 ，存在無窮多種雙曲幾何，它們也沒有本質性差別。

? 因為三角形的面積不可能為負數，所以 。對于雙曲幾何（）有一個意想不到的結果：三角形的面積不可能大于 。

? 從事實 (1.8) 可知，兩個不同大小的三角形不可能有相同大小的角。也就是說，在非歐幾何里不存在不同大小的相似三角形?。ㄟ@與沃利斯在 1663 年的發現是一致的：相似三角形的存在性依賴于平行公設。）

? 與上一個結論緊密相關的事實是，在非歐幾何里，存在絕對長度單位。（高斯本人發現了這個令人興奮的可能：完全用數學推導得到的結論有可能在物理世界中實現。）在球面幾何中，我們可以把這個絕對長度單位定義成：內角和為（例如） 的等邊三角形的邊長。類似地，在雙曲幾何中，我們可以把絕對長度單位定義成：內角和為 的等邊三角形的邊長。

? 還有更自然的方法來定義絕對長度單位，那就是用常數 來定義。一方面，因為弧度制的角定義為長度的比，所以 是無量綱的純數。另一方面，面積 的量綱是 (長度)²，于是 的量綱是 1/(長度)²。因此，存在滿足以下條件的長度 ：在球面幾何里 ，在雙曲幾何里 。當然，我們知道，在球面幾何里使得 的長度 就是球的半徑。以后我們還會講清楚：在雙曲幾何里使得 的長度 也有同樣直觀的具體解釋。

? 曲面上的三角形越小，它與平面三角形的差異就越難察覺：只有當三角形的大小與 的比值足夠大時，差異才會變得易于察覺。例如，人類的身高與地球半徑相比是很小的，所以我們乘船到湖中間去，會覺得湖面就是一個歐幾里得平面，而湖面實際上是球面的一部分。高斯認為，光傳播的空間可能具有很小的曲率，而彎曲空間中的小圖形很容易被錯看成平直圖形。因此，高斯選擇用盡可能大的三角形來做光學實驗，以便增加檢測到空間中可能存在的任何小曲率的機會。