第2章　高斯曲率

2.1　引言

由于哈里奧特的結果 (1.3)，比例常數

進入了球面幾何，稱為球面的高斯曲率1。顯然，半徑 越小，球面就彎曲得越厲害，高斯曲率 的值就越大。

1也稱為內蘊曲率、全曲率，或直接稱為曲率。

同樣，在雙曲幾何里，由事實 (1.8) 產生的負常數

也稱為高斯曲率，原因稍后解釋。

高斯（見圖 2-1）私下研究這個問題 10 多年后，于 1827 年發表了革命性的論文《關于曲面的一般研究》2，公布了內蘊3概念 。

2Gauss (1827)。

3奧林德 · 羅德里格斯早在 1815 年就得出并公布了這個概念，但他用的是外在幾何的觀點。高斯沒有意識到別人已經用不同的方式先于自己得出了這個結果。這件事以后再討論（見 12.2 節末尾）。

高斯引入這個概念用來量度不規則的一般曲面（例如，圖 1-9 所示的曲面）上每個點的曲率。根據哈里奧特和蘭伯特的結論 (1.8)，

單位面積的角盈.

在球面幾何和雙曲幾何里，這個解釋對任意位置、任意大小的三角形都成立。但是，在更一般的曲面（例如圖 1-9 所示的曲面）上，這個定義就有問題了，因為位于曲面不同部分的三角形（例如 和 ）的角盈 可能連符號都不一樣。

我們需要在這樣的曲面上定義一點 的高斯曲率。現在，我們想象一個包含點 的小測地線三角形 ，然后讓它收縮到點 。

圖 2-2 中是一個救生圈，在數學里它就是一個環面，是一個不能平直化的曲面。利用在 1.5 節建立的測地線構作法可知，圖 2-2 展示了這樣收縮到一點的一列測地線三角形。我們現在定義點 的高斯曲率 為這列收縮到點 的測地線三角形的單位面積角盈的極限：

4平面上，由直線段連接（不共線的）三點構成的圖形稱為“三角形”，由曲線段連接三點構成的圖形可稱為“曲邊三角形”，后者因為沒有統一的面積公式與內角和公式，所以屬于非正規圖形。也就是說，只有用最短路徑連接三點的圖形才是三角形。類似地，在曲面上由最短路徑連接三點的圖形（即測地線三角形）才是我們要討論的“三角形”。——譯者注

在現階段，這個極限是否存在，以及它是否與三角形的形狀和三角形收縮到一點的方式有關，這些問題并非一目了然，以后再詳細討論。隨著劇情的進展，我們會發現：高斯曲率還有幾種其他的解釋方式5，對于不同的具體曲面也有多種計算方法。

5真正基礎性的數學概念一定涉及數學的多個分支，在每一個分支里都有各自的解釋方式，它們看似不同，實際上是同一個概念。

定義 (2.1) 可以推廣到三角形以外的情形。如果我們用一個小 邊形6來代替 ，則其角盈為（見第 29 頁習題 10）

6與第 19 頁譯者注同樣的道理，這里的 邊形是指“測地線 邊形”。——譯者注

而曲率的定義仍如式 (2.1) 一樣，為單位面積的角盈。

我們再來看看圖 2-2 中的這個不能平直化的救生圈。顯然，對于外半環上的每一點 ，都有一個鄰域類似于山峰，這時 ；對于內半環上的每一點 ，都有一個鄰域類似于馬鞍，這時 。圖 2-3 展示的就是這個現象。