1.5　通過“直性”來構作測地線

我們提到了這樣一個事實，曲面上的測地線與平面上的直線至少有兩個共同特征：(1) 它們是（相距不太遠的）兩點間的最短路徑；(2) 它們是兩點間“最直”的路徑。在本節中，我們要澄清“直性”是什么意思，并引出在實際曲面上構作測地線的一種非常簡單實用的方法。

大多數微分幾何教科書很少關注這些實際問題，也許正是出于這個原因，我們將要描述的構作方法在文獻中鮮為人知。19本書截然相反，強烈要求你用各種可能的方法探索我們的想法：理論構想，畫圖，計算機實驗，特別是在實實在在的曲面上做實際操作。你家附近的果蔬店可以為你的實驗提供很多形狀有趣的實驗材料，例如圖 1-11 中的西葫蘆。

19我們強烈推薦亨德森的教科書（Henderson, 1998），這是一個很少有的例外，詳見附錄 A。

現在，我們可以用這個西葫蘆來做個實驗，揭示其表面上的測地線所隱藏的直性。我們希望你親手重復這個實驗。

(1) 準備一個西葫蘆，拉緊一根細繩貼在其表面構作出一條測地線。

(2) 用筆描出緊貼西葫蘆表面的細繩軌跡，然后移去細繩。

(3) 貼著描出的軌跡兩側刻出淺痕，用小刀或削皮器削下兩條刻痕之間的窄帶。

(4) 將削下的窄帶平鋪在桌面上，可以驚奇地發現窄帶上的測地線變成了平面上的直線。

但是，為什么會這樣呢？

為了弄清這個道理，首先允許這條窄帶沿垂直于西葫蘆表面（即垂直于這條窄帶）的方向自由彎曲。我們嚴格要求：當窄帶橫向彎曲時，總能保持窄帶與西葫蘆表面相切。下面使用反證法，假設削下來的測地線平鋪在桌面上不是直線。這樣用物理實驗來做證明，有一點既是缺點又是優點：反證假設是不可能在實驗中做到的；正因為反證假設不可能做到，就證明了我們的數學論斷。盡管如此，我們還是假設：存在一條如圖 1-12a 中虛線所示的測地線，將它削下來后，平鋪在桌面上不是直線（如圖 1-12b 所示）。

在平面上連接虛線（不是直線）的兩個端點的曲線中，最短路徑是直線。（如前所述，我們的細繩已經找到了真正的測地線，只是在反證法中我們假裝不知道！）這樣，我們就可以將虛線向直線（最短路徑）變形縮短，得到連接窄帶兩端的實線。將縮短后得到的直線貼回西葫蘆表面（如圖 1-12c 所示），就得到了西葫蘆表面上比虛線更短的路徑，而虛線是我們假設的最短路徑，從而產生了矛盾，所以假設不真。這就證明了我們之前的論斷：

現在我們已經快找到構作測地線的簡單實用方法了。再來看看圖 1-11 中的第 (3) 步，在那里我們從西葫蘆表面削下了窄帶。想象一下，現在我們要將窄帶貼回西葫蘆表面。不管之前的步驟是什么，現在真實要做的是貼回去的過程，這個過程是怎樣的呢？我們撿起變直了的窄帶（這是一條三維的細長果皮，在數學上理想化為二維窄帶），將它貼回西葫蘆表面挖出的淺槽里。但關鍵是：西葫蘆表面并不需要有淺槽，表面自然地決定了削下來的果皮只能放回那個地方。

這樣，將論斷 (1.6) 倒轉過來，就得到了在實際曲面上構作測地線的一種簡單實用的重要方法：20

20這個重要的事實在文獻中很難找到。我們在 30 多年前（重新）發現它之后，就開始搜索。當時找到的最早文獻是 Aleksandrov (1969, 第 99 頁)，其中已經具有潛在的這種想法了，盡管是不切實際的形式：他想象用一把柔韌的金屬尺子壓在表面上。在后來的參考文獻 Koenderink (1990)、Casey (1996) 和 Henderson (1998) 中，也出現了這種基本想法。然而，后來我們了解到：關鍵的想法（盡管沒有我們現在這種實用的形式）可以追溯到一個多世紀以前的萊維 - 奇維塔！詳見第 274 頁的腳注。

（但請注意：這不是構作連接點 到指定目標點 的測地線的方法。）

如果你認為這個方法太簡單了，難以置信，那就請你對任何可以上手的彎曲表面試試下面的方法。你可以在膠帶21上粘一條細繩，在彎曲表面上的兩點之間拉直細繩，使其貼緊在表面上。這時細繩會與膠帶形成同樣的路徑。你會發現，膠帶的確描繪出了測地線。值得注意的是，這個膠帶構作法對任何曲面都有效，包括凹面，而拉直細繩的方法對凹面就不好用了。這就是我們之前說過的好處。

21我們推薦使用遮蔽膠帶（又名美紋膠帶），因為它有明亮的顏色，而且很容易反復撕下來，再重新粘上去。有一種簡單的方法（用通常的寬膠帶）制作窄帶：把一段膠帶粘在砧板上，用鋒利的刀縱向切開它，就可以形成盡可能窄的膠帶了。

當然，所有這些都是數學理想化的具體表現。一條寬度非零、完全平整的狹長膠帶不能22完全貼合真正彎曲的表面，但它的中心線可以固定在曲面上，而膠帶的其余部分與曲面相切。

22這是后面將要講到的一個基本定理的推論，這個基本定理叫作絕妙定理。