1.4　曲面的內蘊幾何與外在幾何

我們稍后再來討論與這種拉直細繩來構作“直線”的方法有關的數學。現在僅展示這種構作方法可以很好地應用于非球面，例如圖 1-9 所示的曲頸南瓜。

與在球面上一樣，我們在曲頸南瓜表面拉直一根細繩，找到兩點（例如 和 ）之間最短、最直的路徑。如果細繩可以自由滑動，則細繩的張力可以確保生成的路徑盡可能短。注意：在兩點為 和 的情況下，我們必須想象細繩是在內表面拉直的。

為了用統一的方式處理所有可能的點對，最好把表面想象成由兩個薄層組成，細繩在它們中間。然而這個想法只在想象的實驗中有用，在實際情況下辦不到。我們將提供一種實用的方法來克服這個障礙，即使表面的彎曲方向16使得我們無法在外面用拉直的細繩緊貼，也可以在實際物體表面構作這些最短、最直的曲線。

16即凹進去的方向，例如圖 1-9 中 和 之間以及三角形 的情況。——譯者注

曲面上的這些最短路徑相當于平面上的直線，它們在本書中起著至關重要的作用，稱為測地線。使用這個新詞，我們可以說平面上的測地線是直線，球面上的測地線是大圓。

但是，即使在球面上，用長度最小化來定義“測地線”也是暫時的。顯然，對于任意兩個非對徑點，通過它們的大圓有兩段弧連接著這兩個點：短弧（這是最短路徑）和長弧。然而，長弧和短弧一樣，都是測地線。球面上的對徑點就更復雜了，它們可以由很多條測地線連接，而且，在更一般的曲面上也會出現測地線不唯一的情況。真正正確的說法是，任意足夠接近的兩個點可以由唯一的測地線段連接，這就是它們之間的最短路徑。

就像平面上的線段可以在兩個方向上無限延伸一樣，測地線也可以在曲面上無限延伸，而且這種延伸是唯一的。例如，在圖 1-9 中，我們將連接黑點的短劃線表示的測地線段擴展成連接白點的點虛線表示的測地線段。

因為長度最小化是測地線的一個很微妙的特征，容易出錯，所以我們稍后將以平直度為基礎，提供測地線僅限于局部的另一種特征。

有了前面的這些預先聲明，現在我們很清楚應該如何定義曲面內的距離了。例如，在圖 1-9 中，兩個足夠接近的點 和 之間的距離是連接它們的測地線段的長度。

現在就可以在曲面上定義圓了。如圖 1-9 所示，“以 為圓心，以 為半徑的圓”定義為與定點 的距離為 的所有點的軌跡。我們可以拿一根長度為 的細繩，將一端固定在點 上，然后拉緊細繩，拖著另一端緊貼著曲面轉一圈，這樣就得到一個測地線圓。與非歐幾何中三角形的內角和不等于 一樣，測地線圓的周長不再等于 。事實上，容易證明圖 1-9 中測地線圓的周長小于 。

同樣，給定曲面上的三個點，可以用測地線將它們連接起來形成一個測地線三角形。圖 1-9 展示了兩個這樣的三角形： 和 。

? 看看 的三個內角，很明顯它們的和大于 ，所以 ，類似于球面幾何中的三角形。

? 的內角和則明顯小于 ，所以 。正如我們將要解釋的那樣，這種情形類似于雙曲幾何中的三角形。還請注意，如果我們在曲頸南瓜表面的這個鞍形部分上構作一個圓，該圓的周長會大于 。

測地線屬于曲面的內蘊幾何概念，這是高斯（Gauss, 1827）提出的一種全新的幾何觀點。它指的是生活在地表的微小、類似螞蟻、有智慧（但是只能理解二維世界）的生物所知道的幾何結構。正如我們討論過的，這些生物可以將連接兩個附近點的測地線定義為“直線”，即它們的世界（地表）中連接這兩個點的最短路徑。由此，它們還可以接著定義三角形，等等。以這種方式定義，很明顯，當曲面在空間中被彎曲（就像一張紙可以彎曲一樣）成不同的形狀時，只要曲面內的距離沒有以任何方式被拉伸或扭曲，內蘊幾何是不會改變的。對于生活在曲面內那些類似螞蟻的智慧生物來說，這樣的變化是完全無法察覺的。17

17生活在地球表面的人類也是如此。想想為什么古人認為大地是平的，為什么會有“天圓地方”的說法。本章最后高斯如何認識空間實質的故事，值得我們思考。——譯者注

在這種彎曲下，外在幾何（曲面在空間中的形狀）肯定會改變。如圖 1-10 所示，左邊是一張扁平的紙，我們在上面畫一個三角形 ，它的三個內角分別為 。此時當然有 。顯然，我們可以將這樣一張扁平的紙在空間中（外在幾何地）彎曲成右邊兩個曲面中的任意一個。18然而，從本質上講，這些曲面在（外在幾何地）彎曲后，其內蘊幾何的形狀沒有發生任何變化——它們就像煎餅一樣，在彎曲后不會變大！圖 1-10 中這些曲面上的三角形（也隨著紙被無拉伸彎曲了）與“智慧螞蟻”用測地線構作的三角形是完全相同的，在右邊的兩種情況下角盈 ，可見這些曲面上的幾何是歐幾里得幾何。

18但請注意，我們必須先修剪矩形的邊緣，才能彎曲成最右邊的形狀。

即使我們在內蘊彎曲的曲面上取一小片，使這個小片上三角形的角盈 ，它也可以在不拉伸或不撕裂的情況下被彎曲，從而改變外在幾何形狀，但保持內蘊幾何形狀不變。例如，把一個乒乓球切成兩半，輕輕擠壓其中一個半球的邊緣，使其扭曲成橢圓形狀（但不是單個平面上的橢圓）。