1.3　球面三角形的角盈

我們已經說過，平行公設等價于三角形的內角和為 。那么，在球面公設和雙曲公設所在的幾何里，三角形的內角和一定不等于 。為了量化它們與歐幾里得幾何的差異，我們引入一個幾何概念：角盈 ，定義為三角形的內角和與 的差，即

例如，在圖 1-6 所示的三角形中，。

現在，比較三角形的角盈和三角形的面積 ，得出一個重要結論。設球的半徑為 。因為三角形與北半球的面積之比為 ，所以 ，即

1603 年，英國數學家托馬斯 · 哈里奧特（見圖 1-7）發現這個關系對球面上的任何三角形 都成立，見圖 1-8a。這是一個重要的發現14。我們接下來介紹哈里奧特巧妙的初等論證15。

14這個發現經常被歸功于吉拉爾。事實上，他比哈里奧特晚了 25 年才發現這個關系。［吉拉爾（1595—1632），法國數學家、音樂家。他在三角學研究中首先使用了 等記號。——譯者注］

15歐拉在 1781 年再次發現了這個論證。

將三角形 的邊延長成三個大圓，這三個大圓將球面分為 8 個三角形，我們將其中四個分別記為 ，每一個都對徑于一個全等三角形。這樣的關系可以在圖 1-8b 中更清楚地看到。因為球的表面積為 ，所以

同時，由圖 1-8b 可清楚地看到， 與 共同構成一個楔形，它的面積是整個球面面積的 倍，即

類似地，我們有

上述三式相加即得

最后，用式 (1.5) 減去式 (1.4)，得到

從而證明了式 (1.3)。