1.2　球面幾何

要建立一門非歐幾何，就要拒絕唯一平行線的存在。雙曲幾何建立在承認存在兩條或更多平行線的假設之上，還有一種邏輯上的可能性，就是沒有平行線。

這樣，就有兩種非歐幾何9：球面幾何和雙曲幾何。

9然而，讀者應該知道，在現代用法中，“非歐幾何”通常是“雙曲幾何”的同義詞。

顧名思義，球面幾何可以理解為球面（如果是單位球面，記為 ）上的幾何。我們可以將球面看作地球表面。在這個球面上，連接兩點，類似于“直線”的是什么？是連接兩點的最短路徑！例如，你希望從倫敦乘船或乘飛機到紐約，最短路徑是什么？

古代的航海家已經知道了這個答案：最短路徑是大圓上的一段弧，而大圓是用過球心的平面切割球面得到的圓周（例如，赤道就是大圓）。在圖 1-5 中，我們選擇 為赤道，公設 (1.2) 顯然成立：經過點 的每一條直線10都與 相交于一對對徑點（即球的直徑的兩個端點）。

10球面上的直線就是大圓。——譯者注

在平面上，最短的路徑是最直的路徑。在球面上也是如此：大圓的軌跡在橫穿球面時，既不偏向右側也不偏向左側（其準確的定義以后再討論）。

還有其他方法不必考慮經過根本無法達到的地球中心的平面即可構建地球上的大圓。例如，在一個地球儀上，你可以將一根細繩的一端固定在倫敦的位置上，然后拉緊細繩，使之緊貼在球面上，并將另一端固定在紐約的位置上，這樣就可以沿著這根細繩畫出從倫敦到紐約的“大圓路徑”。繃緊的細繩會自動找到最短、最直的路徑——經過這兩座城市的大圓被這兩座城市分成的兩段弧中較短11的一段。

11如果這兩個點是一對對徑點（例如南極點和北極點），則這兩段弧是等長的。而且，大圓也不再是唯一的，任何連接兩極點的子午線都是大圓。

有了球面上類似于直線的大圓，我們就可以在球面上“做幾何”了。例如，給定地球表面上的任意三個點，用大圓的弧段將它們連接起來，就形成了一個“三角形”。對于如圖 1-6 所示的三角形，一個頂點在北極，另外兩個頂點在赤道上。

既然古代航海家已經利用非歐球面幾何來航行于大洋之上，古代天文學家利用它來繪制夜晚星空的天體圖，那么，為什么說羅巴切夫斯基和波爾約發現的非歐幾何是新的，又為什么說它是令人震驚的呢？

答案是，那時的球面幾何只是將球面看作它所在的三維空間的一部分，只考慮它從三維歐幾里得空間遺傳下來的性質，根本沒有考慮球面內部的二維幾何。如果將球面看作歐幾里得平面的替代品，不僅歐幾里得第五公設不成立，更多基本公設也可能不成立。例如，歐幾里得第一公設“總是可以畫出連接兩點的唯一一條直線”在球面上就有問題了，因為連接兩個對徑點的有無窮多條球面上的“直線”。

同時，羅巴切夫斯基和波爾約的雙曲幾何更嚴重地“冒犯”了歐幾里得幾何。在雙曲幾何里，雖然有我們熟悉的無窮長直線，但是也有很多看似荒謬的結果，例如平行線的多重性，荒謬的三角形內角和公式，等等。21 歲的亞諾什 · 波爾約對自己的發現非常自信，興高采烈地寫信給他的父親：“我白手起家，創造了另一個全新的世界。”

最后，講一個悲劇吧。波爾約的父親是高斯的朋友，他把兒子亞諾什得出的結果寄給了高斯。那時，高斯自己也在這方面有一些重要發現，但他沒有公開發表。無論如何，亞諾什都比高斯看得更遠。在全世界享有盛名的數學家高斯公開的一句贊許，就會讓這位嶄露頭角的年輕數學家擁有一個光輝的未來。然而，高斯雖然因先天條件與后天培養而獲得了超常的數學天賦，卻也有一般人類的缺點。面對波爾約恢弘的數學發現，高斯是極度狹隘和自私的。

首先，高斯把老波爾約的信擱置了 6 個月，然后才回復如下：

關于你兒子的工作，當我說我不能給予稱贊時，你可能會感到吃驚。但我只能這樣說，因為稱贊你兒子的工作就是稱贊我自己。論文的全部內容，你兒子采用的方法，以及他得到的所有結果，幾乎處處都與我自己想的一樣，我考慮這些問題有 30～35 年了。

高斯確實也說了“感謝”波爾約的兒子，因為這“省去了他的麻煩”12，否則他不得不將自己已經知道了幾十年的那些定理寫出來。

12高斯此前還用完全一樣的方式詆毀過阿貝爾關于橢圓函數的發現，見 Stillwell (2010, 第 236 頁)。

遭受高斯的沉重打擊后，亞諾什 · 波爾約一直沒有恢復過來，并在此后放棄了數學。13

13如果這個故事令你感到壓抑，那就想想萊昂哈德 · 歐拉那些振奮人心的故事來平復一下心情。歐拉就像一座知識的火山，噴發出大量首創思想（其中有些我們后面還要遇到），同時，他也是一個善良、熱心的人。我們引證一個有相同起因、不同結果的故事。19 歲時，尚不知名的拉格朗日，把他在變分計算方面的發現寄給了歐拉。雖然他的這些發現與歐拉的工作重疊了，但是歐拉回信說：“……我自己也推導出了這個結果。但是，在你發表這個結果之前，我不會公開我的工作，因為我不想拿走任何一點兒屬于你的榮譽。”參見 Gindikin (2007, 第 216 頁)。順帶一提，歐拉還親自出面拯救過蘭伯特的職業生涯。