1.6 向量誤差修正模型的協(xié)整秩

在估計(jì)VECM模型的參數(shù)之前，必須選擇基礎(chǔ)VAR中的滯后數(shù)、趨勢識別及協(xié)整方程的數(shù)量。目前識別協(xié)整方程數(shù)量r的方法主要有三種，第一種是跡統(tǒng)計(jì)方法，第二種是最大特征值統(tǒng)計(jì)方法，第三種使用最小化信息準(zhǔn)則選擇法。

這三種方法都基于協(xié)整VECM的Johansen最大似然（ML）估計(jì)量，基本的VECM可以定義為

其中，y是（K×1）的一階單整序列，α和β是（K×r）的秩為r的參數(shù)矩陣，其中r＜K。Г₁，…，Г_p是（K×K）的系數(shù)矩陣，并且ε_t是一個(gè)（K×1）的正態(tài)分布誤差向量，滿足序列不相關(guān)和同方差假設(shè)。

以Anderson（1951）的工作為基礎(chǔ)，Johansen（1995）推導(dǎo)了用于推斷參數(shù)r的最大似然估計(jì)量和兩個(gè)似然比（LR）檢驗(yàn)。這些似然比檢驗(yàn)被稱為跡統(tǒng)計(jì)量和最大特征值統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)閷?shù)似然可以寫成一個(gè)矩陣行列式的對數(shù)加上另一個(gè)矩陣特征值的簡單函數(shù)。

設(shè)λ₁，…，λ_K為K個(gè)特征值，用于計(jì)算最佳情況下的對數(shù)似然值。此外，假設(shè)這些特征值從最大的λ₁到最小的λ_K。如果存在r＜K個(gè)協(xié)整方程，此時(shí)α和β的秩為r，并且特征值λ_r+1，…，λ_K均為0。

1.6.1 跡統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)

設(shè)系數(shù)矩陣特征根為λ₁＞λ₂＞…＞λ_k，有r個(gè)最大特征根可得到r個(gè)協(xié)整向量，而對于其余k-r個(gè)非協(xié)整組合來說，λ_r+1，…，λ_k應(yīng)該為0，于是可設(shè)原假設(shè)為H_r0: λ_r+1=0；備擇假設(shè)為H_r1:λ_r+1＞0。與之相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為

η_r稱為特征值跡統(tǒng)計(jì)量，服從Johansen分布。當(dāng)r=0，1，…，k-1時(shí)可以得到一系列統(tǒng)計(jì)量，我們依次檢驗(yàn)這一系列統(tǒng)計(jì)量的顯著性。

當(dāng)η₀不顯著時(shí)，即η₀值小于某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，不能拒絕H₀₀，說明有k個(gè)單位根，0個(gè)協(xié)整向量，即不存在協(xié)整關(guān)系；當(dāng)η₀顯著時(shí)，拒絕H₀₀而接受H₁₀，表明至少有1個(gè)協(xié)整向量，必須接著檢驗(yàn)η₁的顯著性。

同理，當(dāng)η₁不顯著時(shí)，則不能拒絕H₁₀，說明存在1個(gè)協(xié)整向量；當(dāng)η₁顯著時(shí)，拒絕H₁₀而接受H₂₀，表明至少有2個(gè)協(xié)整向量，必須接著檢驗(yàn)η₂的顯著性。以此類推，進(jìn)行依次檢驗(yàn)，直到出現(xiàn)第一個(gè)不顯著的H_r0，說明存在r個(gè)協(xié)整向量。

1.6.2 最大特征值檢驗(yàn)

對于VECM的協(xié)整秩，另外一個(gè)類似的檢驗(yàn)方法是最大特征值檢驗(yàn)。原假設(shè)為H_r0:λ_r+1=0；備擇假設(shè)為H_r1:λ_r+1＞0，其中r=0，1，…，k-1。檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是基于最大特征值構(gòu)造的：

式中，ξ_r稱為最大特征值統(tǒng)計(jì)量，其檢驗(yàn)過程是從下往上進(jìn)行檢驗(yàn)。首先，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量ξ₀，如果ξ₀小于臨界值，則接受原假設(shè)，表明最大特征根為0，無協(xié)整向量；其次，如果ξ₀大于臨界值，則拒絕原假設(shè)H₀₀，接受H₁₀，表明至少有1個(gè)協(xié)整向量。同理，如果ξ₁顯著，則拒絕H₁₀，接受至少有2個(gè)協(xié)整向量的備擇假設(shè)H₁₁；整個(gè)過程依此類推，直到接受H_r0，共有r個(gè)協(xié)整向量。

VECM模型協(xié)整秩檢驗(yàn)的菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞Cointegrating rank of a VECM

Stata命令語法：

vecrank depvarlist[if][in][，options]

其中，options有以下設(shè)定：

例1.26 多重跡檢驗(yàn)