1.5 向量誤差修正模型

Engle和Granger將協整與誤差修正模型結合起來，建立了向量誤差修正模型。向量誤差修正（VEC）模型是含有協整約束的VAR模型，多應用于具有協整關系的非平穩時間序列建模，用來描述經濟變量序列之間的長期表現和短期特征。

為了簡便說明，不妨忽略外生變量，VAR模型可寫為

式中，每個方程的誤差項ε_t（t=1，2，…，k）都具有平穩性。

設式（1-32）的y_t所包含的k個序列之間存在協整關系，一個協整體系有多種表示形式，用向量誤差修正模型表示是當前處理這種問題的普遍方法，即

式中的每一個方程都是一個誤差修正模型；ecm_t-1=β′y_t-1是誤差修正項，反映變量之間的長期均衡關系，系數矩陣α反映變量之間的均衡關系偏離長期均衡狀態時，將其調整到均衡狀態的調整速度。所有作為解釋變量的差分項的系數反映各變量的短期波動對作為被解釋變量的短期變化的影響，我們可以剔除其中統計不顯著的滯后差分項。

向量誤差修正模型（vector error-correction models）的估計用vec命令。vec擬合一種向量自回歸，其中一些變量使用Johansen（1995）的最大似然法進行協整。在協整方程中或在調整項上可以對參數設置約束。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞Vector error-correction model（VECM）

語法格式：

vec depvarlist[if][in][，options]

例1.25 VEC模型構建的Stata示例

本例使用美國經濟分析局（BEA）關于八個地區的人均可支配收入年度數據。我們使用1948—2002年的對數數據。對這些序列進行的單位根檢驗未能拒絕每個地區人均可支配收入包含單位根的原假設。由于資本和勞動力可以輕易在美國不同地區之間流動，因此我們預計沒有一個序列會與所有剩余序列產生分歧，并且存在協整關系。

（1）下載數據。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/rdinc

（2）畫圖。

.line ln_ne ln_se year

圖形顯示了這兩個序列之間的差異，在1960—1980年縮小，然后增長，直到1990年左右穩定下來。接下來，我們估計一個具有一個協整關系的二元VEC模型的參數。

（3）VEC模型估計。

.vec ln_ne ln_se

默認輸出有三個部分。模型總體描述提供了有關樣本、模型擬合及協整方程中參數識別的信息。第一個估計表包含短期參數的估計，以及它們的標準誤差和置信區間。第二個估計表報告了協整方程中參數的估計及其標準誤差和置信區間。結果表明，協整方程得到了強有力的支持，如ln_ne-0.943 ln_se-0.896應該是一個固定的序列。協整方程中參數的識別是通過約束其中一些參數為固定參數來實現的，固定參數沒有標準誤差。在本例中，ln-ne上的系數已標準化為1，因此其標準誤差缺失。正如在前面所討論的那樣，協整方程中的常數項在本趨勢規范中不是直接估計的，而是從其他估計中撤銷的。并不是所有與該參數對應的VEC元素都是可用的，因此cons參數的標準誤差缺失。

（4）預測畫圖。

.predict ce，ce

.line ce year

為了更好地了解模型的擬合情況，我們預測了協整方程，并繪制了隨時間變化的圖形。

雖然預測的協整方程在20世紀60年代中期之前的時間內具有正確的外觀，但在60年代中期之后，預測的協整方程看起來不像是一個平穩序列。更好的模型可以解釋差異大小的趨勢。