1.4 結構向量自回歸模型

1.3節(jié)所介紹的VAR模型是一種簡化形式，因為它并沒有給出變量之間的當期相關關系的確切形式，即模型的右端不含內生變量的當期值。而結構VAR（structural VAR，SVAR）模型在VAR模型的結構式中加入了內生變量的當期值，即解釋變量中含有當期變量。與簡化的VAR模型不同，SVAR模型包含了變量之間的當期關系，而這些當期關系在VAR模型中是隱含在模型隨機誤差項中的。SVAR模型每個方程的左邊是內生變量，右邊是其自身的滯后變量和其他內生變量的當期和滯后。

SVAR模型的結構表達式分為一般表達式、遞歸的SVAR模型和AB型的SVAR模型。

對于k個變量、p階的結構向量自回歸模型SVAR（p），其矩陣表達式為

式中

可以將式（1-25）寫成滯后算子形式：

式中，C（L）=C₀-Г₁L-Г₂L2-…-Г_pLp，C（L）是滯后算子L的k×k維參數矩陣，C₀≠I_k。

VAR模型是一種結構式經濟模型，引入了變量之間的作用與反饋作用，其中當期系數c表示解釋變量的單位變化對內生變量的即時作用，滯后期γ表示滯后期解釋變量的單位變化對被解釋變量當期值的滯后影響。雖然μ是單純出現在每個內生變量方程中的隨機沖擊，但如果當期系數C_ij≠0，則作用在其他變量上的隨機沖擊通過對其他變量的影響，能夠即時傳遞到該被解釋變量上，這是一種間接的即時影響；反之同理。沖擊的交互影響體現了變量作用的雙向和反饋關系。

上面所討論的SVAR模型，矩陣均是主對角線元素為1的矩陣。如果是一個下三角矩陣，則SVAR模型成為遞歸的SVAR模型。

不失一般性，在式（1-26）中假定結構向量自回歸模型誤差項（結構沖擊）的方差-協(xié)方差矩陣可以標準化為單位矩陣I_k。同樣地，如果矩陣多項式C（L）可逆，就可以表示出SVAR模型式（1-26）的無窮階的VMA（∞）形式：

式中，B（L）=C（L）-1，B（L）=B₀+B₁L+B₂L2+…，。

式（1-27）通常稱為經濟模型的最終表達式，因為其中所有內生變量都表示為μ_t的分布滯后形式，而且結構沖擊μ_t是不可直接觀測得到，需要通過y_t各元素的響應才可觀測到。可以通過估計式（1-25），轉變簡化式的誤差項得到結構沖擊。由式（1-26）和式（1-27）可以得到

上式對于任意的t都是成立的，成為典型的SVAR模型。由于Θ₀=I_k可得

式（1-29）兩端平方取期望，可得

所以我們可以通過對B₀施加約束來識別SVAR模型。

更一般地，假定A、B是k×k階的可逆矩陣，A矩陣左乘式（1-27）形式的VAR模型，則可得

如果A、B滿足Aε_t=Bμ_t，E（μ_t）=O_k，E（μ_tμ_t）=I_k，則稱上述模型為AB型SVAR模型。特別地，在式（1-31）的后一個表達式中，B=I_k。

結構向量自回歸（SVAR）模型估計用svar命令。svar適用于向量自回歸模型，該模型受對結果脈沖響應函數（IRF）施加的短期或長期的約束。經濟理論通常會提出一些約束，允許對IRF進行因果解釋。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞Structural vector autoregression（SVAR）

語法格式：

（1）短期約束。

svar depvarlist[if][in]，{ aconstraints（constraints_a）aeq（matrix_aeq）acns（matrix_acns）bconstraints（constraints_b）beq（matrix_beq）bcns（matrix_bcns）}[short_run_options]

（2）長期約束。

svar depvarlist[if][in]，{ lrconstraints（constraints_lr）lreq（matrix_lreq）lrcns（matrix_lrcns）}[long_run_options]

例1.23 短期SVAR模型

例1.24 長期SVAR模型

假設我們有一個理論，貨幣供應量的意外變化不會對產出的變化產生長期影響，同樣地，產出的意外變化也不會對貨幣供應量的變化產生長期影響。這個理論隱含的C矩陣為

（1）下載數據。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/m1gdp

（2）施加約束。

.matrix lr=（.，0\0，.）

（3）長期SVAR模型估計。

.svar d.ln_m1 d.ln_gdp，lreq（lr）

我們假設基礎VAR有2個滯后；varsoc計算的五個選擇順序標準推薦了這個選擇，過度識別限制的檢驗沒有表明它無效。