1.3 向量自回歸模型

VAR模型的英文全稱是vector autoregression，即向量自回歸模型，我們知道AR是自回歸模型，是對單方程的時間序列進行建模的一種方法。而向量自回歸則是由單變量自回歸模型推廣到了多元時間序列變量的“向量”自回歸模型。

傳統(tǒng)的計量模型都是根據(jù)經(jīng)濟理論來建模的，而VAR模型則是根據(jù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計性質(zhì)來建模的。它是將每一個內(nèi)生變量作為系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的滯后值的函數(shù)來構(gòu)造模型，從而可以更好地反映變量間的動態(tài)聯(lián)系。VAR模型是處理多個相關(guān)經(jīng)濟指標的關(guān)于分析與預測的最容易操作的模型之一，它常用于預測相互聯(lián)系的時間序列系統(tǒng)及分析隨機擾動對變量系統(tǒng)的動態(tài)沖擊，從而解釋各種經(jīng)濟沖擊對經(jīng)濟變量形成的影響。

VAR模型的結(jié)構(gòu)表達式主要有三種：向量表達式、非限制向量自回歸模型（用滯后算子表示）、VMA（∞）模型。

VAR（p）模型的一般表達式為

其中，y_t是k維內(nèi)生變量列向量，x_t是d維外生變量列向量，p是滯后階數(shù)，T是樣本個數(shù)。k×k維矩陣Φ₁，…，Φ_p和k×d維矩陣H是待估計的系數(shù)矩陣。ε_t是k維擾動列向量，一般假設它們相互之間可以同期相關(guān)，但不與自己的滯后值相關(guān)且不與等式右邊的變量相關(guān)，假設Σ是ε_t的協(xié)方差矩陣，是一個（k×k）的正定矩陣，即ε_t～VWN（O_k，Σ），其中VWN（O_k，Σ）表示均值為O_k、協(xié)方差矩陣為Σ的白噪聲向量，這里O_k表示k維零向量。式（1-19）可以展開表示為矩陣表達式：

即含有k個時間序列變量的VAR（p）模型由k個方程組成。還可以將式（1-20）做簡單變換，表示為

其中，是關(guān)于外生變量回歸的殘差。式（1-21）可以簡寫為

式中，，是滯后算子L的k×k的參數(shù)矩陣。一般稱式（1-22）為非限制向量自回歸模型（unrestricted VAR），即一般的簡化VAR模型。沖擊向量是白噪聲向量，因為沒有結(jié)構(gòu)性的含義，被稱為簡化形式的沖擊向量。

上面介紹的是含有外生變量的非限制性向量自回歸模型，那么不含外生變量的非限制性向量自回歸模型，即簡單向量自回歸模型。簡化的VAR模型每個公式的左邊是內(nèi)生變量，右邊是自身的滯后和其他內(nèi)生變量的滯后。其表達式為

其中，Φ（L）=I_k-Φ₁L-Φ₂L2-…-Φ_pLp。

當行列式det[Φ（L）]的根都在單位圓外，式（1-19）滿足穩(wěn)定性條件，此時可以將其表示為無窮階的向量移動平均[Vector Moving Average，簡稱VMA（∞）]形式：

式中，Θ（L）=Φ（L）-1，Θ（L）=Θ₀+Θ₁L+Θ₂L₂+…，Θ₀=I_k。

向量自回歸模型（vector autoregressive model）估計命令為var。var根據(jù)每個因變量自身的滯后及其他所有因變量的滯后擬合每個因變量的多元時間序列回歸。var也適用于向量的一個變體自回歸模型，被稱為VARX模型，其中也包括外生變量。

菜單操作為：

Statistics＞Multivariate time series＞Vector autoregression（VAR）

語法為：

var depvarlist[if][in][，options]

其中的options如下：

例1.21 VAR模型

（1）下載數(shù)據(jù)。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/lütkepohl2

（2）設置時間序列。

.tsset

（3）VAR模型估計。

盡管所有滯后順序統(tǒng)計信息都有標準公式，但Lütkepohl（2005）給出了三個信息標準的不同版本，將常數(shù)項從可能性中剔除。為了獲得Lütkepohl（2005）的版本，我們指定了lutstats選項。

例1.22 帶約束的VAR模型

在上一個例子中，我們將一個完整的VAR（2）模型轉(zhuǎn)換為一個三方程模型。dln_inv方程中的系數(shù)與dln_inc方程中的系數(shù)共同不顯著；許多個體系數(shù)與0沒有顯著差異。在本例中，我們將系數(shù)限制在L2上。dln_inc在dln_inv和L2上的系數(shù)的方程中。dln_inc方程中的dln消耗為零。

（1）施加約束。

.constraint 1[dln_inv]L2.dln_inc=0

.constraint 2[dln_inc]L2.dln_consump=0

（2）VAR模型估計。

.var dln_inv dln_inc dln_consump if qtr＜=tq（1978q4），lutstats dfk

＞constraints（1 2）

所有自由參數(shù)估計值都沒有太大變化。雖然dln_inv方程中的系數(shù)現(xiàn)在在10%的置信水平上是顯著的，但dln_inc方程中的系數(shù)仍然是不顯著的。