1.2 誤差修正模型

在自回歸移動平均（ARMA）模型中要求經濟時間序列是平穩的，但是由于實際應用中大多數時間序列是非平穩的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩趨勢，使得序列平穩后建立模型，這就是差分自回歸移動平均（ARIMA）模型。但是變換后的序列限制了所討論經濟問題的范圍，并且有時變換后的序列由于不具有直接的經濟意義，使得化為平穩序列后所建立的時間序列模型不便于解釋。

1987年Engle和Granger提出的協整（co-integration）理論及其方法，為非平穩序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經濟變量本身是非平穩序列，但是，它們的線性組合有可能是平穩序列。這種平穩的線性組合被稱為協整方程，并且可解釋為變量之間的長期穩定的均衡關系。例如，消費和收入都是非平穩時間序列，但是具有協整關系。如果它們不具有協整關系，那么長期消費就可能比收入高或低，于是消費者便會非理性地消費或累積儲蓄。

1.2.1 協整關系

假定一些經濟指標被某經濟系統聯系在一起，那么從長遠來看，這些變量應該具有均衡關系，這是建立和檢驗模型的基本出發點。在短期內，因為季節影響或隨機干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時的，那么隨著時間推移將會回到均衡狀態；如果這種偏離是持久的，就不能說這些變量之間存在均衡關系。協整可被看作這種均衡關系性質的統計表示。

協整概念是一個強有力的概念。因為協整允許我們刻畫兩個或多個序列之間的平衡或平穩關系。對于每一個序列單獨來說可能是非平穩的，這些序列的矩，如均值、方差或協方差隨時間而變化，而這些時間序列的線性組合序列卻可能有不隨時間變化的性質。

下面給出協整的定義：

k維向量Y=（y₁，y₂，…，y_k）的分量間被稱為d，b階協整，記為Y～CI（d，b），如果滿足：

（1）y₁，y₂，…，y_k都是d階單整的，即y_i～I（d），i=1，2，…，k要求Y的每個分量y_i～I（d）；

（2）存在非零向量β=（β₁，β₂，…，β_k），使得β′Y～I（d-b），0＜b≤d。

那么Y是協整的，向量β又稱為協整向量。

對于協整向量而言，作為對非平穩變量之間關系的描述，協整向量是不唯一的；協整變量必須具有相同的單整階數；最多可能存在k-1個線性無關的協整向量（Y的維數是k）；協整變量之間具有共同的趨勢成分，在數量上成比例。

1.2.2 協整的恩格爾-格蘭杰檢驗

協整檢驗從檢驗的對象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數的協整檢驗，如Johansen協整檢驗；另一種是基于回歸殘差的協整檢驗（residual-based test），如CRDW（cointegration regression Durbin-Watson）檢驗、EG（Engle-Granger）檢驗、AEG（augmented Engle-Granger）檢驗和PO（Phillips-Ouliaris）檢驗。

Engle和Granger（1987）提出了基于殘差的協整檢驗方法。這種協整檢驗方法是對回歸方程的殘差進行單位根檢驗。從協整理論的思想來看，因變量和自變量之間存在協整關系。也就是說，因變量能被自變量的線性組合所解釋，兩者之間存在穩定的均衡關系，因變量不能被自變量所解釋的部分構成一個殘差序列，這個殘差序列應該是平穩的。因此，檢驗一組變量（因變量和解釋變量）之間是否存在協整關系等價于檢驗回歸方程的殘差序列是否是一個平穩序列。

EG檢驗和AEG檢驗的主要步驟如下：

（1）若k+1個序列y和x₁，x₂，…，x_k都是1階單整序列，建立回歸方程

式中，y_t是因變量，x_t=（x_1，t，x_2，t，…，x_k，t）是解釋變量向量，β是k維系數向量，u_t是誤差項。估計的殘差為。

（2）進行EG檢驗或AEG檢驗，檢驗殘差序列是否平穩。

（3）EG檢驗和AEG檢驗方程中還可包含與DF檢驗或ADF檢驗類似的截距項和趨勢項。協整檢驗統計量EG和AEG也等價于t統計量：

Engle和Granger提出的EG檢驗或AEG檢驗回歸式與DF檢驗或ADF檢驗類似，但判斷殘差是否平穩所用的EG或AEG臨界值表與DF或ADF臨界值表不同。這是由于OLS估計的基本原理是使殘差的平方和最小，所產生的殘差序列的估計量的漸近分布與DF檢驗的t統計量的漸近分布不同，位于DF統計量分布位置的左側。Mackinnon（1996）通過模擬實驗得到了各種不同檢驗方程形式和回歸因子不超過12個的協整檢驗臨界值。

若式（1-16）得到的t＞臨界值，則ρ=1，若t＜臨界值，則ρ＜1。檢驗的原假設為H₀:ρ=1，非平穩，也即k+1個序列y和x₁，x₂，…，x_k之間沒有協整關系。備擇假設為H₁:ρ＜1，平穩，也即k+1個序列y和x₁，x₂，…，x_k之間存在協整關系，并且協整向量為。

1.2.3 誤差修正模型設定形式的推導

Engle和Granger將協整與誤差修正模型結合起來，建立了向量誤差修正（VEC）模型。向量誤差修正模型是含有協整約束的VAR模型，多應用于具有協整關系的非平穩時間序列建模，用來描述經濟變量序列之間的長期表現和短期特征。

為了簡要說明，不妨忽略外生變量，則VAR模型可寫為

式中每個誤差項ε_i（i=1，2，…，k）都具有平穩性。

設式（1-17）中的y_t所包含的k個序列之間存在協整關系，一個協整體系有多種表示形式，用誤差修正模型表示是當前處理這種問題的普遍方法，即

式中的每個方程都是一個誤差修正模型（ECM）；ecm_t-1=β′y_t-1是誤差修正項，反映變量之間的長期均衡關系，系數矩陣α反映變量之間的均衡關系偏離長期均衡狀態時，將其調整到均衡狀態的調整速度。所有作為解釋變量的差分項的系數反映各變量的短期波動對作為被解釋變量的短期變化的影響，我們可以剔除其中統計不顯著的滯后差分項。

誤差修正模型還可以削弱原模型的多重共線性，以及擾動項的序列相關性。

1.2.4 兩步ECM估計

最常用的ECM模型的估計方法是Engle和Granger（1981）的兩步ECM估計，其基本思想如下。

第一步是求模型y_t=k₀+k₁x_t+u_t的OLS估計，又稱協整回歸，得到x_t，并用AEG方法檢驗是否平穩，即

第二步是若平穩，用替換，即對再用OLS方法估計其參數。由此可知，誤差修正模型不再單純地使用變量的水平值（變量的原始值）或變量的差分建模，而是把兩者有機地結合在一起，充分利用這兩者所提供的信息。

1.2.5 ECM模型的實現

EG和AEG協整檢驗與兩步ECM估計的主要函數為egranger，其語法格式為

egranger varlist[，ecm Lags（#）TRend QTRend REGress]

其選項及說明為

ecm：要求估計EG兩步ECM。默認情況是報告EG/AEG協整測試。

lags（#）：指定要包含在AEG測試回歸中的殘差的第一個差值的lags數或要包含在ECM第二步回歸中的潛在協整變量的第一個差值的lags數。

trend：指定線性趨勢包含在第一步回歸中。

qtrend：指定在第一步回歸中包含二次趨勢。

regress：要求報告第一步和（如適用）EG/AEG測試回歸。

egranger命令對Engle和Granger（1987）提出的協整進行測試，報告測試統計數據加上MacKinnon（1990，2010）計算的臨界值。egranger命令還將使用Engle和Granger（1981）提出的兩步ECM估計。

例1.20 誤差修正模型