CHAPTER 1
第1章 多元時(shí)間序列

1.1 多元GARCH模型

多元GARCH（以下簡稱MGARCH）模型允許因變量的條件協(xié)方差矩陣遵循靈活的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，并允許條件均值遵循向量自回歸（VAR）結(jié)構(gòu)。

對于大多數(shù)問題，通用的MGARCH模型過于靈活。文獻(xiàn)中有許多受限的MGARCH模型，因?yàn)闆]有參數(shù)化總是在靈活性和簡約性之間提供最佳權(quán)衡。

MGARCH實(shí)現(xiàn)了四種常用的參數(shù)化模型：對角向量（DVECH）模型、恒定條件相關(guān)（CCC）模型、動(dòng)態(tài)條件相關(guān)（DCC）模型和時(shí)變條件相關(guān)（VCC）模型。

本節(jié)將圍繞MGARCH中實(shí)現(xiàn)的模型進(jìn)行介紹。首先給出了一般的MGARCH模型的形式化定義，以便進(jìn)行模型比較。一般的MGARCH模型為

其中，y_t為m×1維因變量向量；C為m×k維參數(shù)矩陣；X_t為k×1維自變量向量，其中可能包含y_t的滯后；是時(shí)變條件協(xié)方差矩陣H_t的Cholesky因子；v_t是零均值、單位方差和獨(dú)立同分布（i.i.d.）的m×1維向量。

在一般的MGARCH模型中，H_t是一元GARCH模型的矩陣推廣。例如，在具有一個(gè)自回歸條件異方差（ARCH）項(xiàng)和一個(gè)GARCH項(xiàng)的一般MGARCH模型中

其中，函數(shù)vech將對稱矩陣中主對角線上或主對角線下的唯一元素堆疊成一個(gè)向量，s是參數(shù)向量，A和B是參數(shù)的一致矩陣。由于該模型使用函數(shù)vech來提取和建模H_t的獨(dú)特元素，因此也被稱為VECH模型。

因?yàn)樗且粋€(gè)條件協(xié)方差矩陣，所以H_t必須是正定的。式（1-2）可表明s、A和B中的參數(shù)不是唯一確定的，必須對s、A和B施加進(jìn)一步的限制，以確保H_t對所有t都是正定的。

多元GARCH模型的隨機(jī)項(xiàng)可以假設(shè)服從正態(tài)分布或t分布，參數(shù)估計(jì)方法一般使用最大似然估計(jì)法（ML）和準(zhǔn)最大似然估計(jì)法（QML）。

1.1.1 DVECH-MGARCH模型

Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）通過將A和B限制為對角，推導(dǎo)出了對角向量多元GARCH（DVECH-MGARCH）模型。雖然DVECH模型比一般模型要簡單得多，但它只能處理幾個(gè)序列，因?yàn)閰?shù)的數(shù)量隨序列的數(shù)量呈二次增長。例如，在H_t的DVECH（1，1）模型中有3m（m+1）/2個(gè)參數(shù)。

盡管有大量參數(shù)，對角線結(jié)構(gòu)意味著每個(gè)條件方差和每個(gè)條件協(xié)方差取決于其自身的過去，而不是其他條件方差和條件協(xié)方差的過去。形式上，在DVECH（1，1）模型中，H_t的每個(gè)元素都可以表示為

參數(shù)估計(jì)可能很困難，因?yàn)樗竺總€(gè)t的H_t是正定的。每個(gè)t的H_t是正定的要求對非對角元素施加了復(fù)雜的限制。

Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）開發(fā)的一般VECH-MGARCH模型可以寫成

其中，y_t為m×1維因變量向量；C為m×k維參數(shù)矩陣；X_t為k×1維自變量向量，其中可能包含y_t的滯后項(xiàng)；是時(shí)變條件協(xié)方差矩陣H_t的Cholesky因子；v_t是零均值、單位方差和i.i.d.的m×1維向量；h_t=vech（H_t），例如，函數(shù)vech將對稱矩陣中主對角線下的元素堆疊成列向量，；s是一個(gè)m（m+1）/2×1維的參數(shù)向量；A_i和B_j為{m（m+1）/2}×{m（m+1）/2}維參數(shù)矩陣。

Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）認(rèn)為式（1-4）中的一般VECH-MGARCH模型對數(shù)據(jù)太靈活，因此他們建議將矩陣A_i和B_j限制為對角矩陣。正是由于這種限制，該模型被稱為對角向量模型。DVECH-MGARCH模型也可以將式（1-4）替換為

其中，S、A_i和B_j為m×m維參數(shù)矩陣；⊙為矩陣點(diǎn)乘，即兩個(gè)矩陣的每個(gè)對應(yīng)元素逐個(gè)相乘。

DVECH-MGARCH模型的Stata命令如下。

其菜單操作為：

Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH

語法為：

mgarch dvech eq[eq…eq][if][in][，options]

其中，options（選擇項(xiàng)）有以下設(shè)定：

例1.1 具有公共協(xié)變量的模型

例1.2 具有因方程不同而不同的協(xié)變量的模型

例1.3 帶約束的模型

在這里，我們分析了一些虛構(gòu)的每周數(shù)據(jù)，關(guān)于在Acme公司和Anvil公司的工廠中發(fā)現(xiàn)的壞部件的百分比。我們將這些級(jí)別建模為一階自回歸過程。這些公司的適應(yīng)性管理風(fēng)格導(dǎo)致差異遵循一個(gè)DVECH-MGARCH過程，帶有一個(gè)ARCH項(xiàng)和一個(gè)GARCH項(xiàng)。此外，我們對這兩家公司施加了ARCH和GARCH系數(shù)相同的約束。

（1）下載數(shù)據(jù)。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/acme

（2）施加約束。

.constraint 1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2

.constraint 2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2

（3）DVECH-MGARCH模型估計(jì)。

.mgarch dvech（acme=L.acme）（anvil=L.anvil），arch（1）garch（1）constraints（1 2）

我們可以通過擬合無約束模型并執(zhí)行Wald檢驗(yàn)或似然比檢驗(yàn)來檢驗(yàn)約束性。結(jié)果表明，我們可能會(huì)進(jìn)一步限制條件方差的時(shí)不變性，使其在公司間保持相同。

例1.4 帶有GARCH項(xiàng)的模型

例1.5 動(dòng)態(tài)預(yù)測

在例1.3中，我們獲得了Acme公司和Anvil公司虛構(gòu)小部件數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)預(yù)測。

（1）下載數(shù)據(jù)。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/acme

（2）施加約束。

.constraint 1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2

.constraint 2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2

（3）DVECH-MGARCH模型估計(jì)。

.mgarch dvech（acme=L.acme）（anvil=L.anvil），arch（1）garch（1）constraints（1 2）

（4）擴(kuò)展數(shù)據(jù)。

.tsappend，add（1_2）

（5）動(dòng)態(tài)預(yù)測。

.predict H*，variance dynamic（tw（1998w26））

（6）畫圖。

.tsline H_acme_acme H_anvil_anvil if t＞=tw（1995w25），legend（rows（2））

該圖顯示，Acme和Anvil公司的條件方差的樣本內(nèi)預(yù)測是相似的，動(dòng)態(tài)預(yù)測收斂到相似的水平。該圖還表明，ARCH和GARCH參數(shù)會(huì)導(dǎo)致顯著的時(shí)變波動(dòng)。acme的預(yù)測條件方差范圍是從略高于2的低點(diǎn)到高于10的高點(diǎn)。

例1.6 預(yù)測樣本內(nèi)條件方差

1.1.2 CCC-MGARCH模型

CC（條件相關(guān)）模型使用一元GARCH模型的非線性組合來表示條件協(xié)方差。在每個(gè)CC模型中，條件協(xié)方差矩陣通過構(gòu)造是正定的，并且結(jié)構(gòu)簡單，便于參數(shù)估計(jì)。隨著時(shí)間序列數(shù)量的增加，CC模型的參數(shù)增長率低于DVECH模型。

在CC模型中，H_t分解為條件相關(guān)性矩陣R_t和條件方差對角矩陣D_t：

其中，每個(gè)條件方差遵循一個(gè)一元GARCH過程，R_t的參數(shù)化因模型而異。

式（1-6）意味著

其中，由一元GARCH過程建模。式（1-7）強(qiáng)調(diào)了CC模型使用一元GARCH模型的非線性組合來表示條件協(xié)方差，并且ρ_ij，t模型中的參數(shù)描述了方程i和j中的誤差一起移動(dòng)的程度。

MGARCH中實(shí)現(xiàn)的三個(gè)CC模型在參數(shù)化R_t的方式上有所不同。

Bollerslev（1990）提出了一個(gè)CC-MGARCH模型[（見式（1-8）]，其中相關(guān)矩陣是時(shí)不變的。正是由于這個(gè)原因，該模型被稱為CCC（恒定條件相關(guān)）-MGARCH模型。將R_t限制為常數(shù)矩陣可以減少參數(shù)數(shù)量并簡化估計(jì)，但在許多經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用中可能過于嚴(yán)格。

其中，y_t為m×1維因變量向量；C為m×k維參數(shù)矩陣；X_t為k×1維自變量向量，其中可能包含y_t的滯后；是時(shí)變條件協(xié)方差矩陣H_t的Cholesky因子；v_t是零均值、單位方差和i.i.d.的m×1維向量；D_t為條件方差的對角矩陣，

上面這個(gè)矩陣中，，默認(rèn)情況下，，當(dāng)het（）選項(xiàng)被設(shè)定，γ_t為1×p維參數(shù)向量，z_i為p×1維包含常數(shù)項(xiàng)的自變量向量；α_j和β_j分別表示ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)系數(shù)；

CCC-MGARCH模型的Stata命令如下。

其菜單操作為：

Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH

語法為：

mgarch ccc eq[eq... eq][if][in][，options]

每個(gè)eq有自己的形式：

（depvars=[indepvars][，eqoptions]）

例1.7 CCC-MGARCH模型的Stata實(shí)現(xiàn)

例1.8 具有因方程不同而不同的協(xié)變量的模型

例1.9 帶約束的模型

例1.10 帶有GARCH項(xiàng)的模型

例1.11 動(dòng)態(tài)預(yù)測

在本例中，我們獲得了例1.8中建模的豐田、日產(chǎn)和本田股票收益率的動(dòng)態(tài)預(yù)測。在下面的輸出中，我們重新估計(jì)了模型的參數(shù)，使用tsappend擴(kuò)展數(shù)據(jù)，并使用predict獲得樣本中的提前一步預(yù)測和收益條件方差的動(dòng)態(tài)預(yù)測。我們將下面的預(yù)測用圖形表示出來。

（1）下載數(shù)據(jù)。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/stocks

（2）CCC-MGARCH模型估計(jì)。

.quietly mgarch ccc（toyota nissan=，noconstant）

＞（honda=L.nissan，noconstant），arch（1）garch（1）

（3）擴(kuò)展數(shù)據(jù)。

.tsappend，add（50）

（4）預(yù)測。

.predict H*，variance dynamic（2016）

（5）畫圖來表示預(yù)測的數(shù)據(jù)。

.tsline H_toyota_toyota H_nissan_nissan H_honda_honda if t＞1600，legend（rows（3））xline（2015）

1.1.3 DCC-MGARCH模型

在MGARCH模型的條件相關(guān)族中，H_t的對角元素被建模為一元GARCH模型，而不是對角元素被建模為對角項(xiàng)的非線性函數(shù)。在動(dòng)態(tài)條件相關(guān)多元GARCH（DCC-MGARCH）模型中，

由于ρ_ij，t隨時(shí)間變化，因此該模型被稱為DCC-MGARCH模型。

Engle（2002）提出的DCC-MGARCH模型可以寫成

其中，y_t為m×1維因變量向量；C為m×k維參數(shù)矩陣；X_t為k×1維自變量向量，其中可能包含y_t的滯后；是時(shí)變條件協(xié)方差矩陣H_t的Cholesky因子；v_t是零均值、單位方差和i.i.d.的m×1維向量；D_t為條件方差的對角矩陣，

上面的矩陣中，，默認(rèn)情況下，，當(dāng)het（）選項(xiàng)被設(shè)定，γ_t為1×p維參數(shù)向量，z_i為p×1維包含常數(shù)項(xiàng)的自變量向量；α_j和β_j分別表示ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)系數(shù)；R_t為式（1-10）條件相關(guān)矩陣，

；0≤λ₁+λ₂＜1。

其菜單操作為

Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH

DCC-MGARCH模型的Stata命令為

mgarch dcc eq[eq... eq][if][in][，options]

每個(gè)eq有自己的形式：

（depvars=[indepvars][，eqoptions]）

例1.12 具有公共協(xié)變量的模型

例1.13 具有因方程不同而不同的協(xié)變量的模型

例1.14 帶約束的模型

例1.15 帶有GARCH項(xiàng)的模型

1.1.4 VCC-MGARCH模型

在MGARCH模型的條件相關(guān)族中，H_t的對角元素被建模為一元GARCH模型，而不是對角元素被建模為對角項(xiàng)的非線性函數(shù)。在時(shí)變條件相關(guān)多元GARCH（VCC-MGARCH）模型中，

式中，對角元素h_ii，t和h_jj，t服從一元GARCH過程，ρ_ij，t為設(shè)定的時(shí)變的動(dòng)態(tài)過程。

由于ρ_ij，t隨時(shí)間變化，該模型被稱為VCC-MGARCH模型。

VCC-MGARCH模型可以寫成

其中，y_t為m×1維因變量向量；C為m×k維參數(shù)矩陣；X_t為k×1維自變量向量，其中可能包含y_t的滯后；是時(shí)變條件協(xié)方差矩陣H_t的Cholesky因子；v_t是零均值、單位方差和i.i.d.的m×1維向量；D_t為條件方差的對角矩陣，

上面的矩陣中，，默認(rèn)情況下，，當(dāng)het（）選項(xiàng)被設(shè)定，γ_t為1×p維參數(shù)向量，z_i為p×1維包含常數(shù)項(xiàng)的自變量向量；α_j和β_j分別表示ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)系數(shù)；R_t為式（1-12）條件相關(guān)矩陣，

VCC-MGARCH模型的Stata命令如下。

其菜單操作為

Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH

語法為

mgarch vcc eq[eq…eq][if][in][，options]

每個(gè)eq有自己的形式：

（depvars=[indepvars][，eqoptions]）

其中，options的選項(xiàng)如下：

例1.16 VCC-MGARCH過程

例1.17 具有因方程不同而不同的協(xié)變量的模型

例1.18 帶約束的模型

例1.19 帶有GARCH項(xiàng)的模型