1.1　研究背景和研究現狀

圖像的本質是二維信號，對其進行分析和處理具有重要的作用和意義。傅里葉變換（Fourier transform，FT）是經典信號分析和處理理論體系的基礎和核心，其本質是將信號分解到一組正交完備的正弦信號基上，從頻率域對信號加以分析和處理。自從1965年Cooely-Tukey提出離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）的快速計算方法快速傅里葉變換（fast Fourier transform，FFT）之后，FT在幾乎所有的工程領域中取得了應用的巨大成功，這種成功的前提是信號必須在傅里葉域帶寬有限。然而自然環境中的信號普遍都是非平穩信號，對于分析和處理一些傅里葉變換域非帶寬有限的非平穩信號，應用FT有一定的局限性。這種局限性主要體現在：應用傳統的傅里葉分析方法很難反映信號頻率隨時間變化的特性，無法完整描述信號細節特征，因而需要新理論和新技術對現有信號處理手段進行必要的補充和完善。為此，一些學者提出了一系列的非平穩信號分析和處理工具，如短時傅里葉變換、時頻分析、加伯變換、小波變換、分數階傅里葉變換和分數階微積分等。

1980年Namias從特征值和特征函數的角度提出了分數階傅里葉變換的概念，并用于微分方程的求解。其后，McBride等從積分形式的角度給出了分數階傅里葉變換的定義。1993年Mendlovic和Ozaktas從光學角度提出了分數階傅里葉變換，并給出了分數階傅里葉變換的光學實現，將其用于光學領域信息處理。自從1994年Almeida指出分數階傅里葉變換可以理解為時頻平面的旋轉后，分數階傅里葉變換得到越來越多信號處理領域學者的關注。一些分數階傅里葉變換的基本性質，如卷積和乘積的定理、相關運算等相繼被提出。

Zhang等人研究了分數階傅里葉變換與短時傅里葉變換的關系，建立了二者的旋轉關系。Ozaktas通過將二次相位函數表示為小波函數，并將角度的正切函數看作尺度參數，建立了分數階傅里葉變換與小波分析的關系。Ozaktas還建立了時頻平面上分數階傅里葉域的概念。Almeida引入了分數階傅里葉變換與Wigner分布的關系，得到了信號分數階傅里葉變換的Wigner分布等于原信號Wigner分布的旋轉，建立了分數階傅里葉變換的時頻平面旋轉的物理意義。Wigner分布是二次時頻表示中非常有用的一種，滿足很多數學性質。然而，由于它的二次特性使得它會引起信號間的交叉干擾，針對此問題，王開志等人提出了利用分數階傅里葉變換檢測和消除交叉項，并盡可能減少自項的失真。

在分數階傅里葉變換用于信號處理方面，分數階傅里葉變換因對線性調頻信號的處理優勢而用于分數階傅里葉域最優濾波和雷達信號處理中。在信號濾波方面，可以將傳統的傅里葉域濾波器推廣到分數階傅里葉域中。Almeida提出掃頻濾波器就是分數階傅里葉域濾波器的時域表現形式，在分數階傅里葉域對信號濾波可以濾除在頻域不容易濾除的信號。Ozaktas 等人給出了最小均方誤差下分數階傅里葉域最優濾波算法，具有很好的普適性。在雷達信號處理方面，陶等人提出了一種基于分數階傅里葉變換的多分量線性調頻信號波達方向估計算法，該算法利用線性調頻信號在分數階傅里葉域的能量聚集性，在分數階傅里葉域上對多分量線性調頻信號進行分離和參數估計。合成孔徑雷達（synthetic aperture radar，SAR）綜合運用合成孔徑技術和脈沖壓縮技術，采用較短的天線實現距離向和方位向的高分辨率。由于SAR回波信號在距離和方位兩個方向均為線性調頻信號，因而理論上可以利用分數階傅里葉變換對線性調頻信號的檢測和參數估計性能，用于SAR的成像算法。Amein等人利用分數階傅里葉變換替代Chirp Scaling算法（CSA）中的FFT，形成新的SAR成像算法。由于分數階傅里葉變換具有旋轉角度參數，所以FrCSA需要引入一個最優變換模塊，使得角度參數和線性調頻信號的調頻率匹配時得到最大的輸出響應。由于地面運動目標的回波也近似為線性調頻信號，Sun等人研究了利用分數階傅里葉變換實現機載SAR的運動目標成像。

以二維信號形式呈現的圖像攜帶非常豐富的信息，能夠非常直觀地反映信息采集時刻的場景。然而，由于圖像采集設備種類繁多（有雷達、紅外、多光譜等）、采集環境復雜多變，噪聲因素使得所采集到的圖像的精細特征丟失或產生扭曲，從而產生失真，嚴重時甚至影響判斷與決策。同時，數字圖像中鄰域內像素點的灰度值具有高度的自相似性，并以復雜的邊緣和紋理等細節信息表示。信號處理的傳統工具已難以處理這種情況，我們需要尋找新的工具和方法。分數階微積分作為整數階微積分的推廣，它在信號的奇異性檢測和提取方面具有特殊的作用。分數階微分能夠增強信號的高頻成分且非線性地保留信號的低頻成分，分數階積分能夠增強信號的低頻成分且非線性地保留信號的高頻成分，分數階微積分實現的階次靈活且自由度大，因此開始被現代信號分析與處理的研究人員關注并研究。近年來，分數階微積分理論在圖像底層信息處理中的應用已經取得了一些研究成果，這些圖像底層信息主要包括圖像壓縮、圖像復原、圖像去噪、圖像邊緣提取、圖像分割和圖像奇異性檢測等。

蒲亦非等人認為，在增強圖像過程中選擇階次適當的分數階微分算子可以在大幅度提升邊緣和紋理細節的同時，非線性地保留圖像平滑區域的紋理信息，由此數字圖像分數階微分掩模及其數值運算規則被提出，實驗仿真結果表明，針對紋理細節信息豐富的圖像，與整數階微分運算相比，分數階微分在灰度變化不大的平滑區域提取紋理細節信息的效果更好。楊柱中等人基于分數階微分算子具有弱導數性質的特點，利用分數階梯度算子對含弱噪聲的圖像進行邊緣檢測，該方法能夠有效地避免整數階梯度算子對噪聲敏感的問題，因此可以準確地定位噪聲圖像的邊緣。Mathieu等人提出了分數階微分的邊緣檢測算子，說明分數階微分階次在時，分數階微分邊緣檢測算子能夠有選擇地檢測出邊緣，而在分數階微分階次在時，該檢測算子能夠在邊緣提取的過程中克服噪聲的影響；在此基礎上，李遠祿等人提出了基于分數階差分的濾波器并將其應用于邊緣檢測，該濾波器可以解決傳統算子邊緣檢測出現邊緣漂移的問題，并且可以抑制部分噪聲。汪凱宇和劉紅毅等人利用分數階微積分的記憶特性，分別將分數階樣條小波應用到圖像紋理的奇異性檢查和圖像融合中，較使用整數階微積分取得了更好的仿真效果。Liu等人提出了基于分數階奇異值分解的人臉識別方法，該方法可以有效處理面部的變化，并且在臉部出現劇烈變化時，比傳統的分類方法性能更好，為圖像高層處理打下堅實基礎。左凱等人將卡爾曼濾波和分數階微積分理論相結合，提出了二維分數階卡爾曼濾波器并成功應用于圖像處理。汪成亮等人通過研究分數階微積分的基本定義和相應分數階微分算子的實現方法，提出了將圖像的梯度特征和人類視覺特征等理論引入已有的分數階微分算子，由此構建了基于分數階微分階次自適應變化的圖像增強模型。高朝邦等人將四元數理論和分數階微積分理論有機結合，提出了四元數分數階方向微分的概念，解釋其物理意義和幾何意義，并根據分數階微分的特殊性質將其應用于圖像增強，得到很好的效果。Bai等人以ROF去噪模型為基礎，將分數階微積分理論和偏微分方程相結合，提出了基于分數階偏微分方程的圖像去噪模型，該方法可以解決傳統低階次整數階偏微分方程去噪模型容易產生階梯效應的問題，以及高階次整數階偏微分方程去噪模型去噪效果不佳的問題。此后，張軍等人將負指數Sobolev空間的多尺度圖像建模與基于分數階微積分的圖像建模有效結合，提出了統一的基于分數階多尺度變分圖像去噪模型，并初步設計了該模型參數的自適應選擇方法。

本書中主要探討分數階微積分和圖像處理領域的聯系，通過研究學科的交叉，可以利用不同學科的優勢工具來構建新的模型，發掘解決應用問題的新方法。利用分數階微積分和圖像處理中的重要工具傅里葉變換、分數階傅里葉變換的關系，不僅可以為圖像處理提供更多的新方法，而且還可以為分數階微積分的物理意義的解釋提供新的思路。另外本書還提出了分數變階微分的概念，它突破了傳統微積分的思想，使得微積分概念變得更加細膩，并成功應用于圖像處理，構建了分數域變階微分圖像去噪和復原模型，在視覺和量化效果上取得了很好的結果。