1.2　分數階微積分理論

1.2.1　分數階微積分理論背景

分數階微分或積分，不是指一個分數或一個分式函數的微分或積分運算，而是指微分的階次或積分的階次不一定必須是整數，可以是任意實數，甚至可以是復數。分數階微積分的歷史幾乎和整數階微積分的歷史一樣久。1695 年，德國數學家萊布尼茨（Leibniz）和法國數學家洛必達（L'H?pital）就曾以書信的方式探討過把整數階導數擴展到非整數的情況。比如，令f (x) = x，n = 1/2，則等于多少。對于這個問題，萊布尼茨也是一頭霧水，沒有給出一個合理的答案。1819年，拉克魯瓦（Lacroix）首次給出了這一問題的正確解答：。由于分數階微積分理論與通常的整數階微積分理論相左，又沒有實際應用背景，在此后的一百多年里一直發展緩慢，直到1973年曼德爾布羅特（Mandelbort）首次指出自然界及許多科學技術領域中存在大量分數維的事實，而且整體與局部存在自相似現象以后，作為分形幾何和分數維的動力學基礎，分數階微積分才獲得了新的發展而成為當前國際上的一個熱點研究課題，并在許多領域得到了應用。1974年，第一屆分數階微積分及其應用國際學術會議在美國紐黑文大學召開，并以數學講義叢書（Lecture Notes in Mathematics）的形式發表了第一部關于分數階微積分理論和應用的會議文集。同年，奧爾德姆（Oldham）和斯帕尼爾（Spanier）出版了第一部分數階微積分專著。此后，該領域的研究蓬勃興起，許多關于分數階微積分的圖書相繼出版。在美國數學分類號2010版（Mathematics Subject Classification 2010，MSC2010）中也增加了分數階微積分的條目。另外，至少有兩種關于分數階微積分的雜志Journal of Fractional Calculus和Fractional Calculus and Applied Analysis公開發行。

1.2.2　分數階微積分理論的基本原理

在經典的微積分中，定義求導運算和求積分運算如下：

　　（1.1）

它們滿足關系式

　　（1.2）

這說明求導運算是求積分運算的左逆運算，且這兩種運算一般來說不具有交換性。進一步，對任何自然數有

即求導運算是求積分運算的左逆運算。對連續函數，反復應用分部積分法可得

　　（1.3）

其中是Gamma函數，且。因此，對非整數的正數，我們可以定義分數階積分

　　（1.4）

進一步，對實數，記為不超過的最大整數。取，利用導數和積分的運算公式，非整數階黎曼-劉維爾（Riemann-Liouville）導數定義為

　　（1.5）

如果利用，非整數階卡普托（Caputo）導數定義為

　　（1.6）

這里應該說明的是，數學家們從不同的角度出發，給出了分數階導數的多種定義，這與整數階導數定義只有一種是截然不同的，其中應用比較廣泛的兩種就是黎曼-劉維爾導數和卡普托導數。

下面說一下這兩類導數的區別。對于非整數階黎曼-劉維爾導數而言，要先求次積分（相當于階導數），再求階導數，可大致理解為先積分再微分，少積分多微分。而對非整數階Caputo導數而言，是先求階導數，再求次積分（相當于階導數），可理解為先微分再積分，多微分少積分。引入黎曼-劉維爾導數定義，可以簡化分數階導數的計算；引入卡普托導數定義，讓其拉普拉斯變換式更簡潔，有利于分數階微分方程的討論。

接下來介紹這兩類導數與整數階導數的聯系和區別。當時，這兩類分數階導數與通常的整數階導數一致。同樣，這兩類分數階導數和整數階導數一樣也有線性性質。另外，對函數先求次積分再求階導數，它的值仍然是。但是它們之間有很大的區別。整數階導數反映的是函數在某個取值點的局部性質，而分數階導數從定義上看實際上是一種積分，它與函數過去的狀態有關，反映的是函數的非局部性質。分數階導數這種性質使得它非常適合構造具有記憶、遺傳等效應的數學模型。我們也可以從卷積的角度來說明分數階導數與整數階導數的區別。為簡單起見，不妨設。令核函數

　　（1.7）

則（1.5）式可等價地改為，“”為拉普拉斯卷積。顯然，對于任意非平凡核，具有記憶性，是非馬爾科夫的，只有當時，馬爾科夫過程才恢復，分數階導數退化成整數階導數，這里

　　（1.8）

從運算方面看，分數階導數公式都很復雜，對乘積、商與復合運算沒有整數階導數那樣簡單的求導公式，計算復雜度大大增加。下面舉一個簡單的例子說明兩者之間的差別。我們知道，常數的正整數階導數為零，但分數階導數不一定為零。比如，設，對，有

　　（1.9）

不過，。

在過去的20年里，分數階微積分的應用范圍逐漸擴大，應用領域涵蓋流體力學、流變學、黏彈性力學、分數控制系統與分數控制器、電分析化學、生物系統的電傳導、神經的分數模型以及分數回歸模型等。但是分數階微積分在圖像處理中的應用還處在初期，如何建立分數階微積分和圖像處理領域的聯系，是研究分數階微積分的重要課題。