前言

無窮多個數相加應該怎么求？0.99999……為什么等于1？導數和微分有什么區別？微積分基本定理的本質是什么？數學到底是一種發現還是發明？

各位讀者朋友，大家好！很高興和大家相逢在《從零開始讀懂微積分》這本書中。本書的基礎是我為北京國家應用數學中心制作的應用數學與數據科學通識基礎課程——《高等數學導覽》的講義。我曾經在“知乎”上寫過一個專欄，名叫《奇葩數學史·中學篇》，寫那個專欄的初衷是想為中學數學的教學內容補充一些課堂上大家可能沒有機會了解的知識背景和專業延伸。專欄完結之后，我收到一些讀者的來信，詢問什么時候推出大學篇。我想，為北京國家應用數學中心制作的視頻課程可以看作對這個問題的正面回答。

提起高等數學，這可能是大學里最令人頭疼的一門課程，它有趣卻又難解，深刻卻又復雜，想敬而遠之，它偏偏應用廣泛、無處不在，不管是物理、計算機這樣的理工類專業，還是經濟、管理這樣的社科類專業，都逃不開以高等數學作為進一步學習的基礎。然而，高等數學似乎與我們之前學過的數學完全不同，學著學著就找不著北了；一開始大家都還興致勃勃，向著理解宇宙最深刻奧義的夢想出發，到后來，大部分人都只能疲于奔命，考研上岸成了最后的愿望。

高等數學的主要內容是微積分，我們為廣大數學愛好者準備了這樣一本伴讀手冊，它既是微積分課堂教學的有益補充，也是一次輕松愉快的數學之旅。通過精講一批重要的數學地標和風景，將課本中若干重要的概念、方法及其背景和延伸做一個梳理和總結。它既包含課堂上沒有時間講授的數學通識內容，又包含對一些復雜知識點的細致拆解，以及微積分在現實生活中的實際應用。希望通過對本書的研讀，大家可以對微積分從理論到實踐有一個初步的認識，提高大家學習后繼專業課程的興趣和能力。

坦白講，編寫這樣一本伴讀手冊并非易事，在組織材料的時候，我們需要考慮三個邏輯：一是數學本身的邏輯；二是數學理論發展的邏輯；三是課程講授的邏輯。課程講授的邏輯決定了課程最終的呈現方式，它受課程的目的、目標聽眾、教師的個人偏好等因素影響。盡管情況比較復雜，但大多數數學課程往往是前兩種邏輯的簡單組合。

在高等數學課堂上，我們更多地接觸到的是遵循第一種邏輯的教材，從數列極限講到函數極限，從導數講到微分，從不定積分講到定積分，從一元函數微積分講到多元函數微積分，從概念引入到性質推導，從定理證明到例題演算，循序漸進。為什么大家都這么做呢？因為它清晰準確、易于標準化，適合大范圍應用和推廣，在教育普及的過程中能夠發揮巨大的作用。

隨著時代的發展，這種處理方式也暴露出一些問題。我們經常聽數學老師說：“我現在講的是思路，你們寫答案的時候要反過來寫！”都聽過吧？什么意思呢？從某種意義上說，數學知識本身的邏輯是一種“反思考”的邏輯，它與人們從“拆解問題”到“組裝答案”的習慣性思考過程是不一致的，掌握起來勢必要克服額外的阻力。從宏觀角度來看，一本教材或一門課程其實也是如此。從定義1、2、3出發，之后是性質4、5、6，然后是定理7、8、9，最后是例題A、B、C、D、E、F、G，這種流水線式的講授方式并不是從思考的邏輯出發的；盡管這種講授方式很準確，卻給學生消化和理解知識制造了障礙。

在這本書里，我希望遵循思考的邏輯，用30章的篇幅為大家梳理微積分理論中一系列重要概念和知識點，以及它們的背景和拓展應用，內容共分為以下四篇。

第一篇是數學通識，大家將從這里了解一些關于數學的基本觀點和事實，如絕大部分人的數學天賦都不怎么樣，人類發展出偉大的數學能力是因為想象力；數學是一種自洽的語言，在語言的抽象與還原之間需要求得一種恰到好處的平衡；數學的發展依賴經驗，但數學不是經驗科學，數學的本質是求真而非證偽；學好數學可以嘗試把握三個要素：邏輯感、結構感知力、求知的本心。有了這些認識，大家就能對數學進行更加深入的思考。

第二篇是原理鋪墊，我將回答以下兩個基本的問題：高等數學何以稱為高等？高等數學與中學數學相比，是否存在一個明確的分水嶺？如果這個分水嶺真的存在，了解它在哪里，可以避免大家在一開始就被完全不一樣的思維方式“打趴下”。

第三篇是本書的核心，我將以“局部—整體”為主線討論微積分理論的核心要義和基本框架，包括函數極限、連續性、無窮小及其比較、導數與微分、微積分基本定理、多元函數微積分等，大家將充分領略高等數學中最為華美的一篇樂章。

第四篇是微積分的實踐之路，內容包括泰勒展開、傅里葉展開、最小作用量原理，以及極值問題在數學、工程學、人工智能等領域的應用。例子雖然不多，但力求簡潔深刻，講通講透，希望研讀這個板塊之后，大家會對“高數”有一種完全不同的觀感。

由于本書的基礎是已有課程的講義，盡管做了必要的整理和修訂，部分內容與“知乎”專欄還是存在重合。為了課程的完整性，我將這些重合的內容保留在本書中，希望不會給已經看過專欄的小伙伴們帶來困擾。最后，我還想強調，這是一本幫助大家修習高等數學的伴讀手冊，它不能代替正式的課堂教學，如果大家想在“高數”這門課上取得不錯的成績，看完本書之后記得回到課堂好好學習。

好了，親愛的讀者朋友，歡迎來到《從零開始讀懂微積分》，祝愿大家在這里能夠收獲一份美好的體驗。

本書獻給我的太太及我可愛的女兒。

唐舜

溫馨提示：本書提供的附贈資源，讀者可以通過掃描封底二維碼，關注“博雅讀書社”微信公眾號，輸入本書77頁的資源下載碼，根據提示獲取。

資源下載碼：202425