3.5 基數與序數

我們舉了很多例子來說明一一映射的重要性，因為一一對應正是數字誕生背后的核心邏輯。歷史上，當有人首次意識到“一雙翅膀”“一對情侶”“兩頭野獸”這些包含不同種類元素的集合都可以一一配對，并決定用一個統一的符號來表達這一共性時，抽象的數字“2”便誕生了，它代表了所有元素數目為2的集合所共有的屬性，自然數的這種屬性被稱為基數。

需要指出的是，數字“2”只是表示基數的一個符號。如果你愿意，可以使用其他任何文字或符號來代替它。例如，你可以用漢字“人”代替“2”，用漢字“乙”來代替“1”，用漢字“土”來代替“3”，因為這些漢字的筆畫數恰好分別是2、1、3，所以可以作為相應基數的范式符號。事實上，在語言文字中的數字真正形成之前，人類早期的基數就是用類似的范式符號來表達的，例如，“2”的符號是鳥翼，“3”的符號是苜蓿葉，“4”的符號是獸足，“5”的符號是手。

但很遺憾，即使規定好了所有基數的范式符號，仍然不能指望原始人能夠從中發展出計數和加法運算的規則。如果要問他們“鳥翼”加上“苜蓿葉”等于什么，他們一定無法理解。即使他們最終理解了你的問題，他們也無法直接給出答案，而是伸出雙手逐一和目標集合配對，等到五根手指配對完畢，他們才能回答“鳥翼”加上“苜蓿葉”等于“手”。

這說明牽涉計數和加法運算的時候，人們需要一個包含所有基數的標準集合，其中的元素被賦予了某種順序可以次第排列。這正是“屈指記數法”展示的過程，“1”的后繼是“2”,“2”的后繼是“3”,“3”的后繼是“4”，自然數這種體現了“后繼”觀念的屬性被稱為序數。

有了序數之后，加法就可以被真正定義了，等式1+1=2的真正含義是基數“1”的后繼是基數“2”。請記住這點，序數是自然數加法的抽象本質。

思考題

你能再舉出一個“一一對應”在實際生活中發揮重要作用的例子嗎？